이 계산기의 기능
이 도구는 초기 변위 x0에서 정지 상태로 놓인 1차원 감쇠 조화 진동자의 변위 x(t)를 계산합니다. 질량으로 정규화된 표준 운동 방정식을 풀어 4주기 동안의 위치를 표로 정리하므로, 진동계가 어떻게 평형 상태로 안정되어 가는지를 한눈에 확인할 수 있습니다. 또한 진동 거동을 저감쇠(under-damped), 임계감쇠(critically damped), 과감쇠(over-damped)로 분류해 줍니다.
지배 방정식
이 운동은 선형 상미분 방정식 \(\frac{d^2x}{dt^2} + 2k\frac{dx}{dt} + \omega_0^2 x = 0\) 을 따릅니다. 여기서 w0는 비감쇠 각진동수, k는 저항(감쇠) 계수이며 둘 다 단위는 1/s입니다. 초기 조건 \(x(0) = \text{x}_0\) 와 \(\frac{dx}{dt}(0) = 0\) 에서, 닫힌 형태의 해는 k와 w0의 크기 관계에 따라 달라집니다.
k < w0 일 때 진동계는 저감쇠 상태로, 감쇠 각진동수 \(\omega_d = \sqrt{\omega_0^2 - k^2}\) 로 진동하며 진폭이 \(e^{-kt}\) 로 감소합니다. $$x(t) = \text{x}_0\, e^{-kt}\left(\cos\omega_d t + \frac{k}{\omega_d}\sin\omega_d t\right)\quad,\quad \omega_d = \sqrt{\omega_0^{2} - k^{2}}$$ k = w0 일 때는 임계감쇠 상태로, 진동 없이 가능한 한 빠르게 정지로 돌아갑니다: $$x(t) = \text{x}_0\left(1 + \omega_0\, t\right) e^{-\omega_0\, t}$$ k > w0 일 때는 과감쇠 상태로, 진동 없이 천천히 평형 위치로 기어가듯 되돌아갑니다. $$x(t) = \frac{\text{x}_0}{2\omega_d}\left[(\omega_d + k)\, e^{(\omega_d - k)t} + (\omega_d - k)\, e^{-(\omega_d + k)t}\right]\quad,\quad \omega_d = \sqrt{k^{2} - \omega_0^{2}}$$
사용 방법
비감쇠 각진동수 w0(0보다 커야 함), 감쇠 계수 k(0 이상이며, k = 0이면 감쇠가 전혀 없는 순수 진동), 초기 변위 x0, 그리고 표를 만들 시간 분할 개수를 입력하세요. 고유 주기는 \(T_0 = \frac{2\pi}{\omega_0}\) 이며, 표는 \(4T_0\) 구간을 \(dt = \frac{\text{전체시간}}{\text{분할수}}\) 의 동일한 간격으로 나누어 분할수+1 개의 행을 생성합니다.
계산 예시
w0 = 5, k = 1, x0 = 1, 분할 50개인 경우, 거동은 저감쇠 상태이며 \(\omega_d = \sqrt{25 - 1} = 4.89898\ \text{rad/s}\) 입니다. 고유 주기는 1.256637 s, 전체 구간은 5.026548 s, dt = 0.100531 s 입니다. \(t = 0\) 에서 변위는 1이고, 첫 번째 스텝인 \(t = 0.100531\ \text{s}\) 에서는 약 0.884153 입니다.
자주 묻는 질문
감쇠 계수 k는 무엇을 의미하나요? 질량으로 정규화된 절반 감쇠 항입니다. 단위 질량당 저항력은 속도의 2k 배와 같습니다.
k가 w0와 정확히 같으면 어떻게 되나요? 저감쇠와 과감쇠 공식은 이 지점에서 제거 가능한 특이점을 가지므로, k가 w0와 아주 작은 허용 오차 이내로 가까우면 이 도구는 임계감쇠 공식을 사용합니다.
왜 하필 4주기인가요? 4개의 고유 주기는 전체 감쇠 포락선을 보여주기에 충분히 길면서도, 표를 간결하고 읽기 쉽게 유지할 수 있는 길이이기 때문입니다.
