Bu hesaplayıcı ne işe yarar?
Bu araç, başlangıçta x0 yer değiştirmesinde durağan halden bırakılan tek boyutlu bir sönümlü harmonik osilatörün yer değiştirmesi \(x(t)\)'yi hesaplar. Kütleye göre normalize edilmiş standart hareket denklemini çözer ve konumu dört doğal periyot boyunca tablolaştırır; böylece sistemin dengeye nasıl yerleştiğini adım adım görebilirsiniz. Ayrıca davranışı az sönümlü, kritik sönümlü veya aşırı sönümlü olarak sınıflandırır.
Hareketi yöneten denklem
Hareket, \(\frac{d^2x}{dt^2} + 2k\frac{dx}{dt} + \omega_0^2 x = 0\) şeklindeki lineer adi diferansiyel denkleme uyar. Burada \(\omega_0\) sönümsüz açısal frekans, \(k\) ise direnç (sönüm) katsayısıdır (her ikisi de 1/s biriminde). \(x(0) = \text{x}_0\) ve \(\frac{dx}{dt}(0) = 0\) başlangıç koşulları altında kapalı form çözüm, \(k\)'nın \(\omega_0\) ile karşılaştırmasına göre değişir.
\(k < \omega_0\) olduğunda sistem az sönümlüdür ve $$\omega_d = \sqrt{\omega_0^2 - k^2}$$ ile verilen azalmış sönümlü açısal frekansla salınır; genlik \(e^{-kt}\) gibi söner. \(k = \omega_0\) olduğunda sistem kritik sönümlüdür ve salınım yapmadan mümkün olan en hızlı şekilde durağan hale döner: $$x(t) = \text{x}_0\left(1 + \omega_0\, t\right) e^{-\omega_0\, t}$$ \(k > \omega_0\) olduğunda ise sistem aşırı sönümlüdür ve salınım yapmadan yavaşça geri sürünür.
Nasıl kullanılır?
Sönümsüz açısal frekans \(\omega_0\)'ı (sıfırdan büyük olmalı), sönüm katsayısı \(k\)'yı (sıfır veya daha büyük; \(k = 0\) saf sönümsüz hareketi verir), başlangıç yer değiştirmesi \(\text{x}_0\)'ı ve tablo için zaman bölme sayısını girin. Doğal periyot \(T_0 = \frac{2\pi}{\omega_0}\)'dır; tablo, \(dt = \frac{\text{zaman aralığı}}{\text{bölme sayısı}}\) şeklindeki eşit adımlarla \(4 T_0\)'ı kapsar ve bölme sayısı+1 satır verir.
Çözümlü örnek
\(\omega_0 = 5\), \(k = 1\), \(\text{x}_0 = 1\) ve 50 bölme için rejim az sönümlüdür; \(\omega_d = \sqrt{25 - 1} = 4.89898\) rad/s. Doğal periyot 1.256637 s, kapsanan aralık 5.026548 s ve \(dt = 0.100531\) s'dir. \(t = 0\) anında yer değiştirme 1'dir; ilk adımda, yani \(t = 0.100531\) s'de yaklaşık 0.884153 olur.
Sıkça sorulan sorular
Sönüm katsayısı k neyi temsil eder? Bu, kütleye göre normalize edilmiş yarı sönüm terimidir; birim kütle başına direnç kuvveti, hızın \(2k\) katına eşittir.
k tam olarak w0'a eşitse ne olur? Az ve aşırı sönümlü ifadeler bu noktada kaldırılabilir bir tekilliğe sahiptir; bu nedenle araç, \(k\) değeri \(\omega_0\)'a çok küçük bir tolerans içinde olduğunda kritik sönüm formülünü kullanır.
Neden tam olarak dört periyot? Dört doğal periyot, tüm sönüm zarfını göstermeye yetecek kadar uzundur ve aynı zamanda tabloyu derli toplu ve okunabilir tutar.
