Bu hesaplayıcı ne işe yarar?
Bu araç, a değişkeninin bir değer dizisi boyunca resiprokal gama fonksiyonunun, yani \(1/\Gamma(a)\)'nın tablosunu ve çizgi grafiğini oluşturur. Dizinin nereden başlayacağını, her adımın ne kadar büyük olacağını ve kaç nokta (satır) istediğinizi siz belirlersiniz. Sonuç olarak a ile \(1/\Gamma(a)\)'yı karşılaştıran derli toplu iki sütunlu bir tablo ve çizilmiş bir eğri elde edersiniz. Bu tamamen matematiksel bir araçtır ve her yerde aynı şekilde geçerlidir.
Nasıl kullanılır?
a'nın başlangıç değerini (ilk argümanı), her bir sonraki satır için a'ya eklenen artış miktarını (adımı) ve yineleme sayısını (kaç satır üretileceğini) girin. Örneğin başlangıç = -3, adım = 0,1 ve 101 satır seçtiğinizde a = -3, -2,9, -2,8, ... şeklinde a = 7,0'a kadar uzanan bir dizi oluşur.
Formülün açıklaması
Gama fonksiyonu faktöriyeli genelleştirir: \(\Gamma(n+1) = n!\) ve \(\Gamma(1/2) = \sqrt{\pi}\). \(\operatorname{Re}(a) > 0\) için $$\Gamma(a) = \int_{0}^{\infty} t^{a-1} e^{-t} \, dt$$ integraliyle tanımlanır; diğer değerlere ise \(\Gamma(a) = \Gamma(a+1)/a\) indirgeme bağıntısı ve \(\Gamma(a)\Gamma(1-a) = \pi/\sin(\pi a)\) yansıma formülü ile genişletilir. \(\Gamma(a)\)'yı Lanczos yaklaşımıyla (\(g = 7\)) hesaplıyor, \(a < 0{,}5\) için yansımayı kullanıyoruz. Çıktı ise basitçe $$f(a_k) = \frac{1}{\Gamma(a_k)}, \quad a_k = \text{Başlangıç } a + k \cdot \text{Adım}, \quad k = 0,1,\dots,\text{Satır}-1$$ Çıktı ise basitçe \(1/\Gamma(a)\)'dır. \(\Gamma(a)\)'nın kendisinin aksine, resiprokal \(1/\Gamma(a)\) hiçbir kutbu olmayan bir tam (entire) fonksiyondur: \(\Gamma\)'nın sonsuza gittiği yerlerde (a = 0, -1, -2, ... noktalarında) resiprokal tam olarak 0 değerini alır.
Çözümlü örnek
Varsayılan değerlerle birkaç satır şöyledir: a = -3 için \(1/\Gamma(-3) = 0\) (pozitif olmayan bir tam sayı, \(\Gamma\)'nın bir kutbu); a = -2,5 için yaklaşık \(-1{,}0579\); a = 0,5 için \(1/\sqrt{\pi} \approx 0{,}5642\); a = 1 ve a = 2 için ikisi de 1; a = 5 için \(1/24 \approx 0{,}04167\); ve a = 7 için \(1/720 \approx 0{,}001389\). Eğri, \(\Gamma(a)\)'nın minimumuna (\(\approx 0{,}8856\)) ulaştığı \(a \approx 1{,}46\) dolayında zirve yapar ve burada \(1/\Gamma \approx 1{,}129\) maksimum değerine ulaşır.
Sıkça Sorulan Sorular
1/Γ(a) neden 0 ve negatif tam sayılarda sıfırdır? Çünkü \(\Gamma(a)\)'nın bu noktalarda basit kutupları vardır, dolayısıyla resiprokali sıfırlanır. Pozitif olmayan tam sayıları tespit edip tam olarak 0 döndürürüz.
Çok büyük a değerlerinde ne olur? \(\Gamma(a)\) son derece hızlı büyür ve taşar (overflow); bu durumda NaN yerine \(1/\Gamma = 0\) döndürürüz.
Ne kadar doğru? Lanczos \(g=7\) yaklaşımı, reel eksen boyunca yaklaşık 15 anlamlı basamağa kadar doğrudur; bu da tablolama ve grafik çizimi için fazlasıyla yeterlidir.
