Qué hace esta calculadora
Esta herramienta construye una tabla y una gráfica de líneas de la función gamma recíproca, \(1/\Gamma(a)\), sobre una secuencia de valores del argumento a. Tú decides dónde empieza la secuencia, cuál es el tamaño de cada paso y cuántos puntos (filas) quieres obtener. El resultado es una tabla limpia de dos columnas con a frente a \(1/\Gamma(a)\), además de la curva representada. Se trata de matemática pura, así que funciona igual en cualquier parte del mundo.
Cómo usarla
Introduce el valor inicial de a (el primer argumento), el incremento (paso) que se suma a a en cada fila sucesiva y el número de iteraciones (cuántas filas generar). Por ejemplo, con inicio = -3, paso = 0,1 y 101 filas se obtiene la secuencia a = -3, -2,9, -2,8, ..., hasta a = 7,0.
La fórmula explicada
La función gamma generaliza el factorial: \(\Gamma(n+1) = n!\) y \(\Gamma(1/2) = \sqrt{\pi}\). Para \(\operatorname{Re}(a) > 0\) se define mediante la integral $$\Gamma(a) = \int_{0}^{\infty} t^{a-1}e^{-t}\, dt,$$ y se extiende a otros valores con la recurrencia \(\Gamma(a) = \Gamma(a+1)/a\) y la fórmula de reflexión \(\Gamma(a)\Gamma(1-a) = \pi/\sin(\pi a)\). Calculamos \(\Gamma(a)\) con la aproximación de Lanczos (\(g = 7\)) y usamos la reflexión para \(a < 0,5\). La salida es, sencillamente, \(1/\Gamma(a)\). A diferencia de la propia \(\Gamma(a)\), la recíproca \(1/\Gamma(a)\) es una función entera sin polos: allí donde \(\Gamma\) se dispara (en a = 0, -1, -2, ...), la recíproca vale exactamente 0.
$$f(a_k) = \frac{1}{\Gamma(a_k)}, \quad a_k = \text{Start } a + k \cdot \text{Step}, \quad k = 0,1,\dots,\text{Rows}-1$$
Ejemplo resuelto
Con los valores por defecto, algunas filas son: a = -3 da \(1/\Gamma(-3) = 0\) (entero no positivo, un polo de \(\Gamma\)); a = -2,5 da aproximadamente \(-1,0579\); a = 0,5 da \(1/\sqrt{\pi} \approx 0,5642\); a = 1 y a = 2 dan ambos 1; a = 5 da \(1/24 \approx 0,04167\); y a = 7 da \(1/720 \approx 0,001389\). La curva alcanza su máximo cerca de \(a \approx 1,46\), donde \(\Gamma(a)\) llega a su mínimo (\(\approx 0,8856\)), lo que da un máximo de \(1/\Gamma \approx 1,129\).
Preguntas frecuentes
¿Por qué 1/Γ(a) vale cero en 0 y en los enteros negativos? Porque \(\Gamma(a)\) tiene polos simples en esos puntos, así que su recíproca se anula. Detectamos los enteros no positivos y devolvemos exactamente 0.
¿Y para valores de a muy grandes? \(\Gamma(a)\) crece extremadamente rápido y se desborda; en ese caso devolvemos \(1/\Gamma = 0\) en lugar de NaN.
¿Cuánta precisión tiene? La aproximación de Lanczos con \(g=7\) ofrece una precisión de unos 15 dígitos significativos en toda la recta real, más que suficiente para tabular y representar gráficamente.
