¿Qué es la función gamma?
La función gamma, escrita \(\Gamma(a)\), es la extensión continua del factorial a los números reales (y complejos). Para un entero positivo n cumple \(\Gamma(n) = (n-1)!\), de modo que \(\Gamma(5) = 4! = 24\). Para un argumento real a con parte real positiva se define mediante la integral impropia $$\Gamma\!\left(a\right) = \int_{0}^{\infty} t^{\,a - 1}\, e^{-t}\, dt.$$ Esta calculadora devuelve \(\Gamma(a)\) para cualquier valor real de a que introduzcas.
Cómo usar la calculadora
Escribe el argumento real a en el campo «Variable a» y elige cuántos decimales quieres ver. El integrando \(t^{a-1}e^{-t}\) y los límites de 0 a infinito vienen fijados por la definición, así que solo tienes que indicar a. La herramienta muestra \(\Gamma(a)\). Si introduces a = 0 o un entero negativo, indicará «sin definir», porque la función gamma tiene un polo en esos puntos.
La fórmula al detalle
En lugar de integrar numéricamente cada vez, la calculadora emplea la aproximación de Lanczos (g = 7, nueve coeficientes), que reproduce el valor de la integral con unos 15 dígitos significativos. Para a ≤ 0,5 aplica primero la fórmula de reflexión \(\Gamma(a)\cdot\Gamma(1-a) = \pi/\sin(\pi a)\), que traslada el argumento a la región bien condicionada e incluso genera los valores finitos (a veces negativos) en los argumentos negativos no enteros.
Ejemplo resuelto
Tomemos a = 3,5. Usando la recurrencia \(\Gamma(a) = (a-1)\cdot\Gamma(a-1)\): $$\Gamma(3{,}5) = 2{,}5 \cdot 1{,}5 \cdot 0{,}5 \cdot \Gamma(0{,}5) = 1{,}875 \cdot \sqrt{\pi} = 1{,}875 \cdot 1{,}7724538509 \approx 3{,}3233509704.$$ La calculadora devuelve exactamente este valor.
Preguntas frecuentes
¿Por qué \(\Gamma(0)\) no está definida? La integral diverge y la función tiene un polo simple en 0 y en cada entero negativo, por lo que el valor es infinito.
¿Cuánto vale \(\Gamma(0{,}5)\)? Exactamente \(\sqrt{\pi} \approx 1{,}7724538509\), un resultado célebre ligado a la integral gaussiana.
¿Qué precisión tiene el resultado? La aproximación de Lanczos es exacta hasta unos 15 dígitos para los argumentos habituales, más que suficiente para casi todas las aplicaciones.
