Hàm Gamma là gì?
Hàm Gamma, ký hiệu \(\Gamma(a)\), là sự mở rộng liên tục của giai thừa sang tập số thực (và số phức). Với một số nguyên dương n, ta có \(\Gamma(n) = (n-1)!\), do đó \(\Gamma(5) = 4! = 24\). Với đối số thực a có phần thực dương, hàm được định nghĩa qua tích phân suy rộng $$\Gamma\!\left(a\right) = \int_{0}^{\infty} t^{\,a - 1}\, e^{-t}\, dt.$$ Công cụ này trả về \(\Gamma(a)\) cho bất kỳ số thực a nào bạn nhập vào.
Cách sử dụng máy tính
Nhập đối số thực a vào ô "Biến a" và chọn số chữ số thập phân muốn hiển thị. Biểu thức dưới dấu tích phân \(t^{a-1}e^{-t}\) cùng cận từ 0 đến vô cùng đã được cố định theo định nghĩa, nên bạn chỉ cần cung cấp giá trị a. Công cụ sẽ cho ra \(\Gamma(a)\). Nếu bạn nhập a = 0 hoặc một số nguyên âm, kết quả hiển thị là "không xác định" vì hàm Gamma có cực điểm tại các giá trị đó.
Giải thích công thức
Thay vì tính tích phân bằng số mỗi lần, máy tính sử dụng xấp xỉ Lanczos (g = 7, chín hệ số), cho kết quả khớp với giá trị tích phân tới khoảng 15 chữ số có nghĩa. Với \(a \le 0{,}5\), máy tính trước tiên áp dụng công thức phản xạ \(\Gamma(a)\cdot\Gamma(1-a) = \pi/\sin(\pi a)\), nhằm đưa đối số về vùng tính toán ổn định, đồng thời cho ra cả những giá trị hữu hạn (đôi khi âm) tại các đối số âm không nguyên.
Ví dụ minh họa
Xét a = 3,5. Dùng công thức truy hồi \(\Gamma(a) = (a-1)\cdot\Gamma(a-1)\): $$\Gamma(3{,}5) = 2{,}5 \cdot 1{,}5 \cdot 0{,}5 \cdot \Gamma(0{,}5) = 1{,}875 \cdot \sqrt{\pi} = 1{,}875 \cdot 1{,}7724538509 \approx 3{,}3233509704.$$ Máy tính sẽ trả về đúng giá trị này.
Câu hỏi thường gặp
Vì sao \(\Gamma(0)\) không xác định? Tích phân phân kỳ và hàm có cực điểm đơn tại 0 cũng như tại mọi số nguyên âm, nên giá trị tại đó là vô cùng.
\(\Gamma(0{,}5)\) bằng bao nhiêu? Chính xác là \(\sqrt{\pi} \approx 1{,}7724538509\), một kết quả nổi tiếng gắn liền với tích phân Gauss.
Kết quả chính xác đến mức nào? Xấp xỉ Lanczos đạt độ chính xác khoảng 15 chữ số với các đối số thông thường, đủ dùng cho hầu hết mọi ứng dụng.
