ما هي دالة غاما؟
دالة غاما، ويُرمز لها بـ \(\Gamma(a)\)، هي الامتداد المتصل لمفهوم المضروب (العاملي) ليشمل الأعداد الحقيقية والمركّبة. فعندما يكون n عددًا صحيحًا موجبًا تتحقق العلاقة \(\Gamma(n) = (n-1)!\)، أي أن \(\Gamma(5) = 4! = 24\). أما بالنسبة لأي وسيط حقيقي a ذي جزء حقيقي موجب فتُعرَّف الدالة بالتكامل المعتل $$\Gamma\!\left(a\right) = \int_{0}^{\infty} t^{\,a - 1}\, e^{-t}\, dt$$ تتيح لك هذه الحاسبة الحصول على قيمة \(\Gamma(a)\) لأي عدد حقيقي a تُدخله.
طريقة استخدام الحاسبة
أدخل الوسيط الحقيقي a في حقل «المتغير a»، ثم اختر عدد المنازل العشرية التي تريد عرضها. أما الدالة داخل التكامل \(t^{a-1}e^{-t}\) وحدود التكامل من 0 إلى ما لا نهاية فهي ثابتة بحكم التعريف، لذا كل ما عليك إدخاله هو قيمة a. وستعرض الأداة لك قيمة \(\Gamma(a)\). وإذا أدخلت \(a = 0\) أو عددًا صحيحًا سالبًا فسيظهر الناتج «غير معرّف» لأن دالة غاما لها قطب عند هذه القيم.
شرح الصيغة الرياضية
بدلًا من إجراء التكامل العددي في كل مرة، تعتمد الحاسبة على تقريب لانكزوس (g = 7، بتسعة معاملات)، الذي يعيد إنتاج قيمة التكامل بدقة تصل إلى نحو 15 رقمًا معنويًا. وعندما تكون \(a \le 0.5\) تطبّق الحاسبة أولًا صيغة الانعكاس \(\Gamma(a)\cdot\Gamma(1-a) = \pi/\sin(\pi a)\)، التي تنقل الوسيط إلى المجال جيّد الاشتراط، بل تنتج أيضًا القيم المنتهية (السالبة أحيانًا) عند الوسائط السالبة غير الصحيحة.
مثال محلول
لنأخذ \(a = 3.5\). باستخدام علاقة التكرار \(\Gamma(a) = (a-1)\cdot\Gamma(a-1)\) نحصل على: $$\Gamma(3.5) = 2.5 \cdot 1.5 \cdot 0.5 \cdot \Gamma(0.5) = 1.875 \cdot \sqrt{\pi} = 1.875 \cdot 1.7724538509 \approx 3.3233509704$$ وهي القيمة نفسها التي تعرضها الحاسبة.
الأسئلة الشائعة
لماذا تكون \(\Gamma(0)\) غير معرّفة؟ لأن التكامل يتباعد، وللدالة قطب بسيط عند الصفر وعند كل عدد صحيح سالب، ومن ثَمّ تكون القيمة لا نهائية.
ما قيمة \(\Gamma(0.5)\)؟ تساوي تمامًا \(\sqrt{\pi} \approx 1.7724538509\)، وهي نتيجة شهيرة ترتبط بالتكامل الغاوسي.
ما مدى دقة الناتج؟ يبلغ تقريب لانكزوس دقة تصل إلى نحو 15 رقمًا للوسائط المعتادة، وهي دقة تفوق ما تحتاجه معظم التطبيقات.
