गामा फलन Γ(a) कैलकुलेटर

गणना दर्ज करें

चर a (वास्तविक मान)

दशमलव स्थान (प्रदर्शन) 4 6 10 14

परिणाम

गामा फलन का मान

3.32335097044784

Γ(a) for a = 3.5

चर a	3.5
Γ(a)	3.32335097044784
विधि	Lanczos सन्निकटन (g = 7)

गामा फलन क्या है?

गामा फलन, जिसे \(\Gamma(a)\) लिखा जाता है, फैक्टोरियल का वास्तविक (और सम्मिश्र) संख्याओं तक सतत विस्तार है। किसी धनात्मक पूर्णांक n के लिए यह \(\Gamma(n) = (n-1)!\) को संतुष्ट करता है, इसलिए \(\Gamma(5) = 4! = 24\) होता है। धनात्मक वास्तविक भाग वाले किसी वास्तविक a के लिए इसे इस अनुचित समाकल से परिभाषित किया जाता है: $$\Gamma\!\left(a\right) = \int_{0}^{\infty} t^{\,a - 1}\, e^{-t}\, dt$$ आपके द्वारा दर्ज किए गए किसी भी वास्तविक a के लिए यह कैलकुलेटर \(\Gamma(a)\) का मान देता है।

The Gamma function Γ(a) extends the factorial to non-integer arguments, with poles at 0 and negative integers.

इस कैलकुलेटर का उपयोग कैसे करें

"वास्तविक चर a" वाले बॉक्स में वास्तविक मान a टाइप करें और चुनें कि परिणाम कितने दशमलव स्थानों तक दिखाना है। समाकल फलन \(t^{a-1}e^{-t}\) और 0 से अनंत तक की सीमाएँ परिभाषा से तय हैं, इसलिए आपको केवल a देना है। टूल \(\Gamma(a)\) बताता है। यदि आप a = 0 या कोई ऋणात्मक पूर्णांक दर्ज करते हैं, तो यह "अपरिभाषित" दिखाता है, क्योंकि वहाँ गामा फलन का ध्रुव (pole) होता है।

सूत्र की व्याख्या

हर बार समाकल को संख्यात्मक रूप से हल करने के बजाय, यह कैलकुलेटर Lanczos सन्निकटन (g = 7, नौ गुणांक) का उपयोग करता है, जो समाकल के मान को लगभग 15 सार्थक अंकों तक पुनः उत्पन्न करता है। जब \(a \le 0.5\) हो, तो यह पहले प्रतिबिंब सूत्र \(\Gamma(a)\cdot\Gamma(1-a) = \pi/\sin(\pi a)\) लागू करता है, जो चर को सुस्थापित क्षेत्र में परावर्तित कर देता है और गैर-पूर्णांक ऋणात्मक चरों पर परिमित (कभी-कभी ऋणात्मक) मान भी देता है।

Γ(a) equals the area under the integrand tᵃ⁻¹e⁻ᵗ from 0 to infinity.

हल किया गया उदाहरण

मान लीजिए a = 3.5। पुनरावृत्ति सूत्र \(\Gamma(a) = (a-1)\cdot\Gamma(a-1)\) का उपयोग करते हुए: $$\Gamma(3.5) = 2.5 \cdot 1.5 \cdot 0.5 \cdot \Gamma(0.5) = 1.875 \cdot \sqrt{\pi} = 1.875 \cdot 1.7724538509 \approx 3.3233509704$$ कैलकुलेटर भी यही मान देता है।

अक्सर पूछे जाने वाले प्रश्न

\(\Gamma(0)\) अपरिभाषित क्यों है? यह समाकल अपसरित (diverge) हो जाता है और फलन का 0 तथा हर ऋणात्मक पूर्णांक पर एक सरल ध्रुव होता है, इसलिए मान अनंत हो जाता है।

\(\Gamma(0.5)\) कितना होता है? ठीक \(\sqrt{\pi} \approx 1.7724538509\), जो गाउसीय समाकल से जुड़ा एक प्रसिद्ध परिणाम है।

परिणाम कितना सटीक है? सामान्य चरों के लिए Lanczos सन्निकटन लगभग 15 अंकों तक सटीक होता है, जो लगभग हर अनुप्रयोग के लिए पर्याप्त से अधिक है।