Что такое гамма-функция?
Гамма-функция, обозначаемая \(\Gamma(a)\), — это непрерывное продолжение факториала на действительные (и комплексные) числа. Для натурального n выполняется равенство \(\Gamma(n) = (n-1)!\), поэтому \(\Gamma(5) = 4! = 24\). Для действительного аргумента a с положительной действительной частью она задаётся несобственным интегралом $$\Gamma\!\left(a\right) = \int_{0}^{\infty} t^{\,a - 1}\, e^{-t}\, dt$$ Этот калькулятор возвращает значение \(\Gamma(a)\) для любого введённого вами действительного a.
Как пользоваться калькулятором
Введите действительный аргумент a в поле «Аргумент a» и выберите, сколько знаков после запятой выводить. Подынтегральное выражение \(t^{a-1}e^{-t}\) и пределы интегрирования от 0 до бесконечности заданы самим определением, поэтому от вас требуется только значение a. Инструмент выдаст \(\Gamma(a)\). Если ввести a = 0 или отрицательное целое число, результатом будет «не определено», поскольку в этих точках у гамма-функции полюс.
Разбор формулы
Чтобы не вычислять интеграл численно каждый раз, калькулятор использует аппроксимацию Ланцоша (g = 7, девять коэффициентов), которая воспроизводит значение интеграла с точностью примерно до 15 значащих цифр. При \(a \le 0{,}5\) сначала применяется формула отражения \(\Gamma(a)\cdot\Gamma(1-a) = \pi/\sin(\pi a)\): она «зеркалит» аргумент в область, где вычисления устойчивы, и заодно даёт конечные (иногда отрицательные) значения в нецелых отрицательных точках.
Пример расчёта
Возьмём a = 3,5. Используя рекуррентное соотношение \(\Gamma(a) = (a-1)\cdot\Gamma(a-1)\), получаем: $$\Gamma(3{,}5) = 2{,}5 \cdot 1{,}5 \cdot 0{,}5 \cdot \Gamma(0{,}5) = 1{,}875 \cdot \sqrt{\pi} = 1{,}875 \cdot 1{,}7724538509 \approx 3{,}3233509704$$ Калькулятор выдаёт то же самое значение.
Частые вопросы
Почему \(\Gamma(0)\) не определено? Интеграл расходится, а у функции имеется простой полюс в нуле и в каждом отрицательном целом числе, поэтому значение бесконечно.
Чему равно \(\Gamma(0{,}5)\)? Точно \(\sqrt{\pi} \approx 1{,}7724538509\) — знаменитый результат, связанный с интегралом Гаусса.
Насколько точен результат? Аппроксимация Ланцоша даёт точность около 15 цифр для типичных аргументов — более чем достаточно практически для любых задач.
