Калькулятор гамма-функции

Введите расчет

Значение z

Результатов

Гамма-функция Γ(z)

24

Γ(5)

Введённое z	5
Метод	Аппроксимация Ланцоша (g = 7)

Что такое гамма-функция?

Гамма-функция, обозначаемая \(\Gamma(z)\), — это непрерывное обобщение факториала. Для любого натурального числа n выполняется равенство \(\Gamma(n) = (n - 1)!\), поэтому \(\Gamma(5) = 4! = 24\). В отличие от обычного факториала, гамма-функция определена для всех действительных и комплексных чисел, кроме целых неположительных (0, −1, −2, …), где у неё находятся полюсы. Она встречается повсюду в математике, статистике (гамма-распределение, бета-распределение и распределение хи-квадрат), физике и комбинаторике.

Гамма-функция расширяет факториал на все действительные (и комплексные) числа, имея полюсы в неположительных целых точках.

Как пользоваться калькулятором

Введите любое значение z — это может быть целое число, дробь или отрицательное нецелое число — и калькулятор вернёт \(\Gamma(z)\). Например, \(\Gamma(0.5) = \sqrt{\pi} \approx 1.772454\), а \(\Gamma(2.5) \approx 1.329340\). Не вводите 0 или отрицательные целые числа: в этих точках функция не определена.

Разбор формулы

Калькулятор использует аппроксимацию Ланцоша — быстрый и очень точный ряд с константой \(g = 7\) и девятью заранее вычисленными коэффициентами. Основное тождество имеет вид

$$\Gamma(z) = \sqrt{2\pi} \cdot \left(z + g + \tfrac{1}{2}\right)^{z + \frac{1}{2}} \cdot e^{-\left(z + g + \frac{1}{2}\right)} \cdot A_g(z)$$

где \(A_g(z)\) — взвешенная сумма коэффициентов. Для \(z < 0.5\) калькулятор сначала применяет формулу отражения

$$\Gamma(z)\,\Gamma(1 - z) = \frac{\pi}{\sin(\pi z)}$$

что позволяет точно вычислять малые и отрицательные значения аргумента.

Реклама

Формула отражения позволяет калькулятору вычислять \(\Gamma(z)\) для отрицательных нецелых аргументов.

Пример вычисления

Найдём \(\Gamma(5)\): поскольку 5 — натуральное число,

$$\Gamma(5) = (5 - 1)! = 4! = 4 \times 3 \times 2 \times 1 = 24$$

Аппроксимация Ланцоша даёт 24.0000 (с точностью до округления), что подтверждает связь с факториалом.

Частые вопросы

Почему нельзя вычислить \(\Gamma(0)\) или \(\Gamma(-2)\)? У гамма-функции есть полюсы в каждой целой неположительной точке, поэтому там она неограниченно возрастает и остаётся неопределённой.

Насколько точен результат? Аппроксимация Ланцоша с \(g = 7\) обеспечивает точность примерно до 15 значащих цифр для типичных значений — гораздо больше, чем показывает экран.

Гамма-функция — это то же самое, что факториал? Они тесно связаны: \(\Gamma(n) = (n - 1)!\) для натуральных n. Гамма-функция обобщает факториал на нецелые и отрицательные аргументы.