ガンマ関数とは？
ガンマ関数は \(\Gamma(z)\) と表記され、階乗を連続的に拡張したものです。正の整数 \(n\) に対しては \(\Gamma(n) = (n - 1)!\) が成り立つため、たとえば \(\Gamma(5) = 4! = 24\) となります。通常の階乗と異なり、ガンマ関数は非正の整数（0、−1、−2、…）を除くすべての実数および複素数で定義され、これらの点では極（無限大に発散する点）を持ちます。数学全般をはじめ、統計学（ガンマ分布・ベータ分布・カイ二乗分布）、物理学、組合せ論など、幅広い分野で登場する重要な関数です。
この計算ツールの使い方
\(z\) の値を入力するだけで \(\Gamma(z)\) が求められます。整数でも、分数でも、整数ではない負の数でも入力可能です。たとえば \(\Gamma(0.5) = \sqrt{\pi} \approx 1.772454\)、\(\Gamma(2.5) \approx 1.329340\) となります。ただし、関数が定義されない 0 や負の整数は入力しないでください。
計算式の仕組み
このツールでは ランチョス近似を採用しています。これは定数 \(g = 7\) とあらかじめ計算された9個の係数を用いる、高速かつ非常に高精度な級数展開です。基本となる式は $$\Gamma(z) = \sqrt{2\pi} \cdot (z + g + \tfrac{1}{2})^{z + \frac{1}{2}} \cdot e^{-(z + g + \frac{1}{2})} \cdot A_g(z)$$ で、\(A_g(z)\) は係数の重み付き総和を表します。\(z < 0.5\) の場合は、まず反射公式 $$\Gamma(z)\Gamma(1 - z) = \frac{\pi}{\sin(\pi z)}$$ を適用することで、小さな値や負の値でも正確に計算できるようにしています。
計算例
\(\Gamma(5)\) を求めてみましょう。5 は正の整数なので、$$\Gamma(5) = (5 - 1)! = 4! = 4 \times 3 \times 2 \times 1 = 24$$ となります。ランチョス近似でも（丸め誤差の範囲内で）24.0000 が得られ、階乗との関係がきちんと確認できます。
よくある質問（FAQ）
\(\Gamma(0)\) や \(\Gamma(-2)\) はなぜ計算できないのですか？ ガンマ関数はすべての非正の整数で極を持ち、その点では無限大に発散して定義されないためです。
計算結果の精度はどのくらいですか？ \(g = 7\) のランチョス近似は、一般的な入力に対しておよそ15桁の有効数字まで正確です。これは画面に表示される桁数を十分に上回る精度です。
\(\Gamma(z)\) は階乗と同じものですか？ 密接に関係しています。正の整数 \(n\) に対しては \(\Gamma(n) = (n - 1)!\) が成り立ちます。ガンマ関数は、この階乗を整数以外の値や負の値にまで一般化したものです。
