¿Qué es la función gamma?
La función gamma, que se escribe \(\Gamma(z)\), es la extensión continua del factorial. Para cualquier número entero positivo n cumple que \(\Gamma(n) = (n - 1)!\), de modo que \(\Gamma(5) = 4! = 24\). A diferencia del factorial ordinario, la función gamma está definida para todos los números reales y complejos, salvo los enteros no positivos (0, −1, −2, …), donde presenta polos. Aparece en numerosas áreas de las matemáticas, la estadística (las distribuciones gamma, beta y chi cuadrado), la física y la combinatoria.
Cómo usar esta calculadora
Introduce cualquier valor de z —puede ser un número entero, una fracción o un número negativo que no sea entero— y la calculadora devolverá \(\Gamma(z)\). Por ejemplo, \(\Gamma(0{,}5) = \sqrt{\pi} \approx 1{,}772454\) y \(\Gamma(2{,}5) \approx 1{,}329340\). Evita introducir 0 o enteros negativos, ya que en esos puntos la función no está definida.
La fórmula explicada
Esta herramienta emplea la aproximación de Lanczos, una serie rápida y de gran precisión con una constante g = 7 y nueve coeficientes precalculados. La identidad central es
$$\Gamma(z) = \sqrt{2\pi}\,\left(z + g + \tfrac{1}{2}\right)^{z + \frac{1}{2}} e^{-\left(z + g + \frac{1}{2}\right)} A_g(z)$$donde \(A_g(z)\) es la suma ponderada de coeficientes. Cuando \(z < 0{,}5\), la calculadora aplica primero la fórmula de reflexión
$$\Gamma(z)\,\Gamma(1 - z) = \frac{\pi}{\sin(\pi z)}$$que permite evaluar con exactitud los argumentos pequeños y negativos.
Ejemplo resuelto
Para hallar \(\Gamma(5)\): como 5 es un entero positivo,
$$\Gamma(5) = (5 - 1)! = 4! = 4 \times 3 \times 2 \times 1 = 24$$La aproximación de Lanczos devuelve 24,0000 (salvo redondeo), lo que confirma la relación con el factorial.
Preguntas frecuentes
¿Por qué no puedo calcular \(\Gamma(0)\) ni \(\Gamma(-2)\)? La función gamma tiene polos en cada entero no positivo, así que en esos puntos crece sin límite y queda indefinida.
¿Qué precisión tiene el resultado? La aproximación de Lanczos con g = 7 ofrece una exactitud de unos 15 dígitos significativos para entradas habituales, mucho más de lo que muestra la pantalla.
¿Es lo mismo \(\Gamma(z)\) que el factorial? Están estrechamente relacionados: \(\Gamma(n) = (n - 1)!\) para enteros positivos n. La función gamma generaliza el factorial a argumentos no enteros y negativos.
