¿Qué es el logaritmo de la función gamma?
El logaritmo de la función gamma, que se escribe \(\ln\Gamma(a)\) o \(\ln(\Gamma(a))\), es el logaritmo natural de la función gamma \(\Gamma(a)\). La función gamma extiende el concepto de factorial a los números reales y complejos: para un entero positivo \(n\) se cumple que \(\Gamma(n) = (n-1)!\). Como \(\Gamma(a)\) crece a un ritmo extraordinario, los científicos y estadísticos casi siempre trabajan con su logaritmo para evitar el desbordamiento numérico (overflow). \(\ln\Gamma\) aparece por todas partes en probabilidad (distribuciones beta y gamma, la prueba de chi-cuadrado), en combinatoria y en análisis numérico.
Cómo usar esta calculadora
Introduce el argumento \(a\) (cualquier número real) y pulsa calcular. La herramienta devuelve \(\ln\Gamma(a)\) en forma de logaritmo natural, además de su versión en base 10 (Log10 Gamma). Para \(a\) mayor que 0 el resultado es un número real. En \(a = 0, -1, -2, -3, \ldots\) la función gamma tiene polos, por lo que \(\ln\Gamma\) no está definida y la calculadora así lo indica. Para valores negativos no enteros de \(a\), \(\Gamma\) puede ser negativa; en ese caso la calculadora muestra el valor principal real mediante la fórmula de reflexión.
La fórmula explicada
Esta calculadora emplea la aproximación de Lanczos (\(g = 7\), nueve coeficientes), un método cerrado rápido y de gran precisión. Con \(x = a - 1\) y \(t = x + 7.5\), calcula una suma ponderada \(A\) de los coeficientes de Lanczos y evalúa
$$\ln\Gamma(a) = 0.5\,\ln(2\pi) + \left(x + 0.5\right)\ln(t) - t + \ln(A).$$Para \(a\) menor o igual que 0.5, la fórmula de reflexión \(\Gamma(a)\,\Gamma(1-a) = \dfrac{\pi}{\sin(\pi a)}\) traslada el problema a un valor donde la serie de Lanczos converge bien.
Ejemplo resuelto
Para \(a = 3.5\):
$$\Gamma(3.5) = 2.5 \times 1.5 \times 0.5 \times \sqrt{\pi} = 1.875 \times 1.7724538509 = 3.32335097045.$$Por tanto,
$$\ln\Gamma(3.5) = \ln(3.32335097045) = 1.20097360234707.$$Como segunda comprobación, para \(a = 5\) tenemos \(\Gamma(5) = 4! = 24\), así que
$$\ln\Gamma(5) = \ln(24) = 3.17805383034795.$$Preguntas frecuentes
¿Por qué usar el logaritmo de gamma en lugar de gamma directamente? \(\Gamma(a)\) desborda los números de coma flotante estándar para valores de \(a\) moderados (\(\Gamma(171)\) ya supera el rango de un double), mientras que \(\ln\Gamma\) se mantiene en cifras manejables, por lo que la forma logarítmica es la opción práctica.
¿Cuánto valen \(\ln\Gamma(1)\) y \(\ln\Gamma(2)\)? Ambos son 0, porque \(\Gamma(1) = \Gamma(2) = 1\) y \(\ln(1) = 0\). La función alcanza un mínimo cerca de \(a = 1.4616\).
¿El resultado es exacto? La aproximación de Lanczos ofrece una precisión de unos 15 dígitos significativos para argumentos habituales, lo que coincide con la coma flotante de doble precisión.
