Calculadora de la función error inversa y de la función error complementaria inversa

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y (adimensional) erf⁻¹ needs -1 < y < 1; erfc⁻¹ needs 0 < y < 2

Dígitos a mostrar 6 10 14 18 22 26 30 34 38 42 46 50

Fórmula

Show calculation steps (1)

1. Inverse Complementary Error Function

   

   Uses the identity erfc^-1(y) = erf^-1(1 - y); returns x such that erfc(x) = y.

Resultados

Inverse Error Function erf^-1(y)

0,2724628197

valor x tal que erf(x) = y

erfc-1(y) = erf-1(1 - y)	0,7328691494
Valor de entrada y	0,3

¿Qué es la calculadora de la función error inversa?

Esta herramienta calcula la función error inversa, \(\operatorname{erf}^{-1}(y)\), y la función error complementaria inversa, \(\operatorname{erfc}^{-1}(y)\), a partir de un argumento adimensional y. La función error $$\operatorname{erf}(x) = \frac{2}{\sqrt{\pi}} \int_{0}^{x} e^{-t^{2}}\, dt$$ aparece por todas partes en problemas de probabilidad, difusión y procesamiento de señales. Su inversa responde a la pregunta opuesta: dado un valor y, ¿qué x cumple que \(\operatorname{erf}(x) = y\)?

Cómo utilizarla

Introduce un valor y y elige cuántos dígitos quieres mostrar. Para \(\operatorname{erf}^{-1}\) el dominio válido es \(-1 < y < 1\); para \(\operatorname{erfc}^{-1}\) el dominio válido es \(0 < y < 2\). Ambos resultados están ligados por la identidad $$\operatorname{erfc}^{-1}(y) = \operatorname{erf}^{-1}(1 - y),$$ ya que \(\operatorname{erfc}(x) = 1 - \operatorname{erf}(x)\). En los extremos del dominio los resultados divergen hacia \(\pm\infty\) (por ejemplo, \(\operatorname{erf}^{-1}(1) = +\infty\)).

La fórmula al detalle

No existe una forma cerrada elemental para \(\operatorname{erf}^{-1}\). Partimos de la semilla de la aproximación racional de Giles (2010), con una precisión cercana a 1e-7, y luego la refinamos con el método de Newton: $$x_{n+1} = x_{n} - \frac{\operatorname{erf}(x_{n}) - y}{\frac{2}{\sqrt{\pi}}\, e^{-x_{n}^{2}}}.$$ La derivada de erf es \(\frac{2}{\sqrt{\pi}}\, e^{-x^{2}}\). Al iterar hasta que el residuo \(|\operatorname{erf}(x_{n}) - y|\) queda por debajo de 1e-15 se obtiene la precisión doble completa.

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erf^-1 está definida en (-1,1); erfc^-1 está definida en (0,2) y equivale a erf^-1(1-y).

La función de error inversa halla la x cuya erf es igual a un valor y dado.

Ejemplo resuelto

Para \(y = 0{,}3\): $$\operatorname{erf}^{-1}(0{,}3) \approx 0{,}2724627,$$ porque \(\operatorname{erf}(0{,}2724627) \approx 0{,}3\). A continuación, $$\operatorname{erfc}^{-1}(0{,}3) = \operatorname{erf}^{-1}(1 - 0{,}3) = \operatorname{erf}^{-1}(0{,}7) \approx 0{,}7328691,$$ de modo que \(\operatorname{erfc}(0{,}7328691) = 1 - 0{,}7 = 0{,}3\).

Preguntas frecuentes

¿Por qué \(\operatorname{erf}^{-1}\) y \(\operatorname{erfc}^{-1}\) coinciden en \(y = 0{,}5\)? Porque \(\operatorname{erfc}^{-1}(0{,}5) = \operatorname{erf}^{-1}(1 - 0{,}5) = \operatorname{erf}^{-1}(0{,}5)\); los argumentos solo coinciden en \(y = 0{,}5\).

¿Qué ocurre en los límites del dominio? \(\operatorname{erf}^{-1}(\pm 1) = \pm\infty\), y \(\operatorname{erfc}^{-1}(0) = +\infty\), \(\operatorname{erfc}^{-1}(2) = -\infty\). Los valores fuera de dominio devuelven un error.

¿Es \(\operatorname{erf}^{-1}\) una función impar? Sí: \(\operatorname{erf}^{-1}(-y) = -\operatorname{erf}^{-1}(y)\).