Ters Hata Fonksiyonu ve Ters Tümleyen Hata Fonksiyonu Hesaplayıcı

Hesaplamaya Girin

y (boyutsuz) erf⁻¹ needs -1 < y < 1; erfc⁻¹ needs 0 < y < 2

Görüntülenen basamak sayısı 6 10 14 18 22 26 30 34 38 42 46 50

Formül

Show calculation steps (1)

1. Inverse Complementary Error Function

   

   Uses the identity erfc^-1(y) = erf^-1(1 - y); returns x such that erfc(x) = y.

Sonuç

Inverse Error Function erf^-1(y)

0,2724628197

erf(x) = y olan x değeri

erfc-1(y) = erf-1(1 - y)	0,7328691494
y girişi	0,3

Ters Hata Fonksiyonu Hesaplayıcı nedir?

Bu araç, verilen boyutsuz bir y argümanı için ters hata fonksiyonunu, \(\operatorname{erf}^{-1}(y)\), ve ters tümleyen hata fonksiyonunu, \(\operatorname{erfc}^{-1}(y)\), hesaplar. $$\operatorname{erf}(x) = \frac{2}{\sqrt{\pi}} \int_{0}^{x} e^{-t^{2}}\, dt$$ biçiminde tanımlanan hata fonksiyonu; olasılık, difüzyon ve sinyal işleme problemlerinde sıkça karşımıza çıkar. Bu fonksiyonun tersi ise ters soruyu yanıtlar: bir y değeri verildiğinde, hangi x değeri \(\operatorname{erf}(x) = y\) sonucunu verir?

Nasıl kullanılır?

Bir y değeri girin ve kaç basamak görüntülemek istediğinizi seçin. \(\operatorname{erf}^{-1}\) için geçerli tanım aralığı \(-1 < y < 1\); \(\operatorname{erfc}^{-1}\) için ise \(0 < y < 2\)'dir. İki çıktı, \(\operatorname{erfc}(x) = 1 - \operatorname{erf}(x)\) eşitliğinden dolayı \(\operatorname{erfc}^{-1}(y) = \operatorname{erf}^{-1}(1 - y)\) özdeşliğiyle birbirine bağlıdır. Sınır noktalarında sonuçlar \(\pm\infty\) değerine ıraksar (örneğin \(\operatorname{erf}^{-1}(1) = +\infty\)).

Formülün açıklaması

\(\operatorname{erf}^{-1}\) için temel bir kapalı form ifadesi yoktur. Yaklaşık 1e-7 doğruluğa sahip Giles (2010) rasyonel yaklaşımıyla başlar, ardından Newton yöntemiyle sonucu iyileştiririz: $$x_{n+1} = x_{n} - \frac{\operatorname{erf}(x_{n}) - y}{\frac{2}{\sqrt{\pi}}\, e^{-x_{n}^{2}}}.$$ erf fonksiyonunun türevi \(\frac{2}{\sqrt{\pi}} e^{-x^{2}}\) şeklindedir. \(|\operatorname{erf}(x_{n}) - y|\) kalıntısı 1e-15'in altına inene kadar yinelendiğinde, tam çift duyarlıklı (double precision) sonuç elde edilir.

Reklam

erf^-1, (-1,1) aralığında; erfc^-1, (0,2) aralığında tanımlıdır ve erf^-1(1-y)'ye eşittir.

Ters hata fonksiyonu, erf'si verilen bir y değerine eşit olan x'i bulur.

Çözümlü örnek

\(y = 0.3\) için: \(\operatorname{erf}^{-1}(0.3) \approx 0.2724627\), çünkü \(\operatorname{erf}(0.2724627) \approx 0.3\). Bu durumda $$\operatorname{erfc}^{-1}(0.3) = \operatorname{erf}^{-1}(1 - 0.3) = \operatorname{erf}^{-1}(0.7) \approx 0.7328691$$ olur; öyle ki \(\operatorname{erfc}(0.7328691) = 1 - 0.7 = 0.3\).

Sıkça Sorulan Sorular

\(\operatorname{erf}^{-1}\) ve \(\operatorname{erfc}^{-1}\) neden \(y = 0.5\)'te eşittir? Çünkü \(\operatorname{erfc}^{-1}(0.5) = \operatorname{erf}^{-1}(1 - 0.5) = \operatorname{erf}^{-1}(0.5)\); argümanlar yalnızca \(y = 0.5\)'te çakışır.

Tanım aralığının uçlarında ne olur? \(\operatorname{erf}^{-1}(\pm 1) = \pm\infty\) ve \(\operatorname{erfc}^{-1}(0) = +\infty\), \(\operatorname{erfc}^{-1}(2) = -\infty\) olur. Tanım aralığı dışındaki girişler hata döndürür.

\(\operatorname{erf}^{-1}\) tek fonksiyon mudur? Evet: \(\operatorname{erf}^{-1}(-y) = -\operatorname{erf}^{-1}(y)\).