역오차함수 계산기란?
이 도구는 주어진 무차원 인수 y에 대해 역오차함수 erf-1(y)와 역상보오차함수 erfc-1(y)를 계산합니다. 오차함수 erf(x) = (2/√π) ∫0x e-t² dt는 확률, 확산, 신호처리 등 다양한 분야에서 등장합니다. 그 역함수는 반대 질문에 답합니다. 즉, 값 y가 주어졌을 때 erf(x) = y를 만족하는 x는 무엇인가입니다.
사용 방법
값 y를 입력하고 표시할 자릿수를 선택하세요. erf-1의 유효 정의역은 -1 < y < 1이고, erfc-1의 유효 정의역은 0 < y < 2입니다. erfc(x) = 1 - erf(x)이므로 두 결과는 erfc-1(y) = erf-1(1 - y)라는 항등식으로 연결됩니다. 경계에서는 결과가 ±∞로 발산합니다(예: erf-1(1) = +∞).
공식 설명
erf-1에는 초등함수로 표현되는 닫힌 형태가 존재하지 않습니다. 그래서 먼저 약 1e-7 정도의 정확도를 갖는 Giles(2010) 유리함수 근사를 초기값으로 사용한 뒤, 뉴턴법으로 보정합니다: xn+1 = xn - (erf(xn) - y) / ((2/√π) e-xn²). erf의 도함수는 (2/√π) e-x²입니다. 잔차 |erf(xn) - y|가 1e-15 미만이 될 때까지 반복하면 완전한 배정밀도 결과를 얻습니다.
계산 예시
y = 0.3인 경우: erf(0.2724627) ≈ 0.3이므로 erf-1(0.3) ≈ 0.2724627입니다. 또한 erfc-1(0.3) = erf-1(1 - 0.3) = erf-1(0.7) ≈ 0.7328691이며, 따라서 erfc(0.7328691) = 1 - 0.7 = 0.3이 됩니다.
자주 묻는 질문
y = 0.5에서 erf-1과 erfc-1이 같은 이유는? erfc-1(0.5) = erf-1(1 - 0.5) = erf-1(0.5)이기 때문입니다. 두 인수가 일치하는 지점은 y = 0.5뿐입니다.
정의역의 끝에서는 어떻게 되나요? erf-1(±1) = ±∞이고, erfc-1(0) = +∞, erfc-1(2) = -∞입니다. 정의역을 벗어난 입력값은 오류를 반환합니다.
erf-1은 기함수인가요? 네, 맞습니다: erf-1(-y) = -erf-1(y).
