逆误差函数与逆互补误差函数计算器

输入计算

y（无量纲） erf⁻¹ needs -1 < y < 1; erfc⁻¹ needs 0 < y < 2

显示位数 6 10 14 18 22 26 30 34 38 42 46 50

数学公式

Show calculation steps (1)

1. Inverse Complementary Error Function

   

   Uses the identity erfc^-1(y) = erf^-1(1 - y); returns x such that erfc(x) = y.

结果

Inverse Error Function erf^-1(y)

0.2724628197

使 erf(x) = y 成立的 x 值

erfc-1(y) = erf-1(1 - y)	0.7328691494
输入 y	0.3

逆误差函数计算器是什么？

本工具用于计算给定无量纲参数 y 对应的逆误差函数 erf^-1(y) 以及逆互补误差函数 erfc^-1(y)。误差函数 erf(x) = (2/√π) ∫₀^x e^-t² dt 广泛出现在概率论、扩散过程和信号处理等问题中。它的反函数解决的是相反的问题：已知一个值 y，求出使 erf(x) = y 成立的 x。

使用方法

输入一个数值 y，并选择希望显示的小数位数。对于 erf^-1，有效定义域为 -1 < y < 1；对于 erfc^-1，有效定义域为 0 < y < 2。由于 erfc(x) = 1 - erf(x)，两个结果通过恒等式 erfc^-1(y) = erf^-1(1 - y) 相互关联。在定义域边界处，结果会发散到 ±∞（例如 erf^-1(1) = +∞）。

公式解析

erf^-1 没有初等的闭式表达式。我们先采用 Giles（2010）提出的有理逼近作为初值，其精度约为 1e-7，再用牛顿迭代法进一步精化：x_n+1 = x_n - (erf(x_n) - y) / ((2/√π) e^-x_n²)。其中 erf 的导数为 (2/√π) e^-x²。持续迭代直到残差 |erf(x_n) - y| 小于 1e-15，即可达到双精度浮点的完整精度。

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erf^-1 定义在 (-1,1) 上；erfc^-1 定义在 (0,2) 上，等于 erf^-1(1-y)。

反误差函数求出使其 erf 等于给定 y 的 x。

计算示例

当 y = 0.3 时：erf^-1(0.3) ≈ 0.2724627，因为 erf(0.2724627) ≈ 0.3。进而 erfc^-1(0.3) = erf^-1(1 - 0.3) = erf^-1(0.7) ≈ 0.7328691，从而 erfc(0.7328691) = 1 - 0.7 = 0.3。

常见问题

为什么 erf^-1 和 erfc^-1 在 y = 0.5 时相等？ 因为 erfc^-1(0.5) = erf^-1(1 - 0.5) = erf^-1(0.5)，两者的参数只有在 y = 0.5 时才完全重合。

在定义域边界处会发生什么？ erf^-1(±1) = ±∞，且 erfc^-1(0) = +∞、erfc^-1(2) = -∞。超出定义域的输入会返回错误提示。

erf^-1 是奇函数吗？ 是的：erf^-1(-y) = -erf^-1(y)。