Калькулятор обратной функции ошибок и обратной дополнительной функции ошибок

Введите расчет

y (безразмерная величина) erf⁻¹ needs -1 < y < 1; erfc⁻¹ needs 0 < y < 2

Знаков после запятой 6 10 14 18 22 26 30 34 38 42 46 50

Математическая формула

Show calculation steps (1)

1. Inverse Complementary Error Function

   

   Uses the identity erfc^-1(y) = erf^-1(1 - y); returns x such that erfc(x) = y.

Результатов

Inverse Error Function erf^-1(y)

0,2724628197

значение x, при котором erf(x) = y

erfc-1(y) = erf-1(1 - y)	0,7328691494
Введите y	0,3

Что считает этот калькулятор?

Инструмент вычисляет обратную функцию ошибок \(\operatorname{erf}^{-1}(y)\) и обратную дополнительную функцию ошибок \(\operatorname{erfc}^{-1}(y)\) для заданного безразмерного аргумента \(y\). Сама функция ошибок $$\operatorname{erf}(x) = \frac{2}{\sqrt{\pi}} \int_{0}^{x} e^{-t^{2}}\, dt$$ встречается повсюду — в теории вероятностей, в задачах диффузии и в обработке сигналов. Обратная функция решает противоположную задачу: по значению \(y\) находит такое \(x\), при котором \(\operatorname{erf}(x) = y\).

Как пользоваться

Введите значение \(y\) и укажите, сколько знаков выводить. Для \(\operatorname{erf}^{-1}\) область допустимых значений — \(-1 < y < 1\); для \(\operatorname{erfc}^{-1}\) — \(0 < y < 2\). Два результата связаны тождеством $$\operatorname{erfc}^{-1}(y) = \operatorname{erf}^{-1}(1 - y),$$ поскольку \(\operatorname{erfc}(x) = 1 - \operatorname{erf}(x)\). На границах области значения уходят в \(\pm\infty\) (например, \(\operatorname{erf}^{-1}(1) = +\infty\)).

Разбор формулы

Элементарной формулы в замкнутом виде для \(\operatorname{erf}^{-1}\) не существует. Мы стартуем с рационального приближения Джайлса (2010) с точностью около \(10^{-7}\), а затем уточняем результат методом Ньютона: $$x_{n+1} = x_{n} - \frac{\operatorname{erf}(x_{n}) - y}{\frac{2}{\sqrt{\pi}}\, e^{-x_{n}^{2}}}.$$ Производная \(\operatorname{erf}\) равна \(\frac{2}{\sqrt{\pi}} e^{-x^{2}}\). Итерации продолжаются, пока невязка \(|\operatorname{erf}(x_{n}) - y|\) не станет меньше \(10^{-15}\), что даёт полную точность типа double.

Реклама

erf^-1 определена на (-1,1); erfc^-1 определена на (0,2) и равна erf^-1(1-y).

Обратная функция ошибок находит x, для которого erf равна заданному y.

Пример расчёта

Возьмём \(y = 0{,}3\): \(\operatorname{erf}^{-1}(0{,}3) \approx 0{,}2724627\), ведь \(\operatorname{erf}(0{,}2724627) \approx 0{,}3\). Тогда $$\operatorname{erfc}^{-1}(0{,}3) = \operatorname{erf}^{-1}(1 - 0{,}3) = \operatorname{erf}^{-1}(0{,}7) \approx 0{,}7328691,$$ так что \(\operatorname{erfc}(0{,}7328691) = 1 - 0{,}7 = 0{,}3\).

Частые вопросы

Почему \(\operatorname{erf}^{-1}\) и \(\operatorname{erfc}^{-1}\) совпадают при \(y = 0{,}5\)? Потому что \(\operatorname{erfc}^{-1}(0{,}5) = \operatorname{erf}^{-1}(1 - 0{,}5) = \operatorname{erf}^{-1}(0{,}5)\); аргументы совпадают только в точке \(y = 0{,}5\).

Что происходит на границах области определения? \(\operatorname{erf}^{-1}(\pm 1) = \pm\infty\), а \(\operatorname{erfc}^{-1}(0) = +\infty\) и \(\operatorname{erfc}^{-1}(2) = -\infty\). При значениях вне области калькулятор выдаёт ошибку.

Является ли \(\operatorname{erf}^{-1}\) нечётной функцией? Да: \(\operatorname{erf}^{-1}(-y) = -\operatorname{erf}^{-1}(y)\).