حاسبة دالة الخطأ العكسية ودالة الخطأ التكميلية العكسية

أدخل الحساب

y (عديمة الأبعاد) erf⁻¹ needs -1 < y < 1; erfc⁻¹ needs 0 < y < 2

عدد الخانات المعروضة 6 10 14 18 22 26 30 34 38 42 46 50

صيغة رياضية

Show calculation steps (1)

1. Inverse Complementary Error Function

   

   Uses the identity erfc^-1(y) = erf^-1(1 - y); returns x such that erfc(x) = y.

نتائج

Inverse Error Function erf^-1(y)

٠٫٢٧٢٤٦٢٨١٩٧

قيمة x التي تحقق erf(x) = y

erfc-1(y) = erf-1(1 - y)	٠٫٧٣٢٨٦٩١٤٩٤
أدخل قيمة y	٠٫٣

ما هي حاسبة دالة الخطأ العكسية؟

تحسب هذه الأداة دالة الخطأ العكسية \(\operatorname{erf}^{-1}(y)\)، ودالة الخطأ التكميلية العكسية \(\operatorname{erfc}^{-1}(y)\)، لقيمة معطاة \(y\) عديمة الأبعاد. تظهر دالة الخطأ $$\operatorname{erf}(x) = \frac{2}{\sqrt{\pi}} \int_{0}^{x} e^{-t^{2}}\, dt$$ في كثير من مسائل الاحتمالات والانتشار ومعالجة الإشارات. أما معكوسها فيجيب عن السؤال المعاكس: إذا أُعطيت قيمة \(y\)، فما هي قيمة \(x\) التي تحقق \(\operatorname{erf}(x) = y\)؟

كيفية الاستخدام

أدخل قيمة \(y\) واختر عدد الخانات التي تريد عرضها. بالنسبة إلى \(\operatorname{erf}^{-1}\) يكون المجال الصالح هو \(-1 < y < 1\)؛ أما بالنسبة إلى \(\operatorname{erfc}^{-1}\) فالمجال الصالح هو \(0 < y < 2\). ويرتبط الناتجان بالمتطابقة \(\operatorname{erfc}^{-1}(y) = \operatorname{erf}^{-1}(1 - y)\)، لأن \(\operatorname{erfc}(x) = 1 - \operatorname{erf}(x)\). وعند حدود المجال تتباعد النتائج نحو \(\pm\infty\) (مثلاً \(\operatorname{erf}^{-1}(1) = +\infty\)).

شرح الصيغة

لا توجد صيغة مغلقة بسيطة لدالة \(\operatorname{erf}^{-1}\). نبدأ من بذرة جايلز (Giles 2010) وهي تقريب كسري نسبته الدقيقة نحو \(1\mathrm{e}{-7}\)، ثم نُنقّحها بطريقة نيوتن: $$x_{n+1} = x_{n} - \frac{\operatorname{erf}(x_{n}) - y}{\frac{2}{\sqrt{\pi}}\, e^{-x_{n}^{2}}}$$ ومشتقة دالة \(\operatorname{erf}\) هي \(\frac{2}{\sqrt{\pi}} e^{-x^{2}}\). وبتكرار العملية حتى يصبح المتبقي \(|\operatorname{erf}(x_{n}) - y|\) أقل من \(1\mathrm{e}{-15}\) نحصل على دقة مزدوجة كاملة.

اعلان

erf^-1 معرّفة على (-1,1)؛ وerfc^-1 معرّفة على (0,2) وتساوي erf^-1(1-y).

دالة الخطأ العكسية تجد قيمة x التي تكون erf لها مساوية لقيمة y معطاة.

مثال محلول

عند \(y = 0.3\): تكون $$\operatorname{erf}^{-1}(0.3) \approx 0.2724627$$ لأن \(\operatorname{erf}(0.2724627) \approx 0.3\). ثم $$\operatorname{erfc}^{-1}(0.3) = \operatorname{erf}^{-1}(1 - 0.3) = \operatorname{erf}^{-1}(0.7) \approx 0.7328691$$ بحيث إن \(\operatorname{erfc}(0.7328691) = 1 - 0.7 = 0.3\).

الأسئلة الشائعة

لماذا تتساوى \(\operatorname{erf}^{-1}\) وerfc^-1 عند \(y = 0.5\)؟ لأن \(\operatorname{erfc}^{-1}(0.5) = \operatorname{erf}^{-1}(1 - 0.5) = \operatorname{erf}^{-1}(0.5)\)؛ فلا يتطابق وسيطا الدالتين إلا عند \(y = 0.5\).

ماذا يحدث عند حدود المجال؟ \(\operatorname{erf}^{-1}(\pm 1) = \pm\infty\) و\(\operatorname{erfc}^{-1}(0) = +\infty\)، و\(\operatorname{erfc}^{-1}(2) = -\infty\). أما المدخلات الخارجة عن المجال فتُرجِع رسالة خطأ.

هل دالة \(\operatorname{erf}^{-1}\) فردية؟ نعم: \(\operatorname{erf}^{-1}(-y) = -\operatorname{erf}^{-1}(y)\).