ماذا تفعل هذه الحاسبة
تبني هذه الأداة جدولاً ورسماً خطياً لـدالة غاما المعكوسة \(1/\Gamma(a)\) على متتالية من قيم الوسيط a. أنت تختار نقطة بداية المتتالية، ومقدار كل خطوة، وعدد النقاط (الصفوف) التي تريدها. والنتيجة جدول أنيق من عمودين يقابل بين a و\(1/\Gamma(a)\)، إضافةً إلى منحنى مرسوم. هذه رياضيات بحتة تنطبق بالطريقة نفسها في كل مكان.
طريقة الاستخدام
أدخل القيمة الابتدائية لـ a (الوسيط الأول)، ومقدار الزيادة (الخطوة) الذي يُضاف إلى a عند كل صف جديد، وعدد التكرارات (أي كم صفاً تريد توليده). على سبيل المثال: بداية = -3، خطوة = 0.1، و101 صف، تُنتج المتتالية \(a = -3, -2.9, -2.8, \dots\) حتى \(a = 7.0\).
شرح المعادلة
دالة غاما تعميمٌ للمضروب (العاملي): \(\Gamma(n+1) = n!\) و \(\Gamma(1/2) = \sqrt{\pi}\). عندما تكون \(\operatorname{Re}(a) > 0\) تُعرَّف بالتكامل $$\Gamma(a) = \int_{0}^{\infty} t^{a-1} e^{-t}\, dt,$$ وتُمدَّد إلى قيم أخرى عبر علاقة التكرار \(\Gamma(a) = \Gamma(a+1)/a\) وصيغة الانعكاس \(\Gamma(a)\Gamma(1-a) = \pi/\sin(\pi a)\). نحسب \(\Gamma(a)\) باستخدام تقريب لانكزوس (\(g = 7\)) ونلجأ إلى الانعكاس عند \(a < 0.5\). والناتج ببساطة هو $$f(a_k) = \frac{1}{\Gamma(a_k)}, \quad a_k = \text{Start } a + k \cdot \text{Step}, \quad k = 0,1,\dots,\text{Rows}-1.$$ على خلاف \(\Gamma(a)\) نفسها، فإن المعكوس \(1/\Gamma(a)\) دالة كاملة (entire) لا أقطاب لها: فحيث تتباعد \(\Gamma\) نحو اللانهاية (عند \(a = 0, -1, -2, \dots\))، يكون المعكوس مساوياً للصفر تماماً.
مثال محلول
بالقيم الافتراضية، نأخذ بعض الصفوف: \(a = -3\) تعطي \(1/\Gamma(-3) = 0\) (عدد صحيح غير موجب، وهو قطب لـ \(\Gamma\))؛ و \(a = -2.5\) تعطي نحو \(-1.0579\)؛ و \(a = 0.5\) تعطي \(1/\sqrt{\pi} \approx 0.5642\)؛ و \(a = 1\) و \(a = 2\) كلتاهما تعطيان \(1\)؛ و \(a = 5\) تعطي \(1/24 \approx 0.04167\)؛ و \(a = 7\) تعطي \(1/720 \approx 0.001389\). يبلغ المنحنى ذروته قرب \(a \approx 1.46\)، حيث تصل \(\Gamma(a)\) إلى أدنى قيمة لها (\(\approx 0.8856\))، فتكون القيمة العظمى لـ \(1/\Gamma \approx 1.129\).
الأسئلة الشائعة
لماذا تساوي \(1/\Gamma(a)\) صفراً عند الصفر والأعداد الصحيحة السالبة؟ لأن \(\Gamma(a)\) لها أقطاب بسيطة عند تلك النقاط، فيتلاشى معكوسها. نحن نكتشف الأعداد الصحيحة غير الموجبة ونُرجِع \(0\) تماماً.
ماذا عن القيم الكبيرة جداً لـ a؟ تنمو \(\Gamma(a)\) بسرعة هائلة وتتجاوز سعة التمثيل العددي؛ لذا نُرجِع \(1/\Gamma = 0\) بدلاً من NaN.
ما مدى دقتها؟ تقريب لانكزوس بـ \(g=7\) دقيق إلى نحو 15 رقماً معنوياً على امتداد الخط الحقيقي، وهو أكثر من كافٍ لإنشاء الجداول والرسوم.
