Ce que fait ce calculateur
Cet outil construit une table et un graphique de la fonction gamma réciproque, \(1/\Gamma(a)\), sur une suite de valeurs de l'argument a. Vous décidez où commence la suite, la taille de chaque pas et le nombre de points (lignes) souhaité. Le résultat est une table claire à deux colonnes (a en regard de \(1/\Gamma(a)\)) accompagnée de la courbe tracée. Il s'agit de mathématiques pures : les résultats sont identiques partout dans le monde.
Comment l'utiliser
Saisissez la valeur initiale de a (le premier argument), l'incrément (pas) ajouté à a à chaque nouvelle ligne, puis le nombre d'itérations (le nombre de lignes à générer). Par exemple, avec un départ = -3, un pas = 0,1 et 101 lignes, on obtient la suite a = -3, -2,9, -2,8, …, jusqu'à a = 7,0.
La formule expliquée
La fonction gamma généralise la factorielle : \(\Gamma(n+1) = n!\) et \(\Gamma(1/2) = \sqrt{\pi}\). Pour \(\operatorname{Re}(a) > 0\), elle est définie par l'intégrale $$\Gamma(a) = \int_{0}^{\infty} t^{a-1} e^{-t} \, dt,$$ puis prolongée aux autres valeurs grâce à la relation de récurrence \(\Gamma(a) = \Gamma(a+1)/a\) et à la formule de réflexion \(\Gamma(a)\Gamma(1-a) = \pi/\sin(\pi a)\). Nous évaluons \(\Gamma(a)\) à l'aide de l'approximation de Lanczos (\(g = 7\)) et utilisons la réflexion pour \(a < 0,5\). La sortie est tout simplement $$f(a_k) = \frac{1}{\Gamma(a_k)}, \quad a_k = \text{Start } a + k \cdot \text{Step}, \quad k = 0,1,\dots,\text{Rows}-1.$$ Contrairement à \(\Gamma(a)\) elle-même, la réciproque \(1/\Gamma(a)\) est une fonction entière, sans aucun pôle : là où \(\Gamma\) diverge (en \(a = 0, -1, -2, \dots\)), la réciproque vaut exactement 0.
Exemple détaillé
Avec les valeurs par défaut, voici quelques lignes : \(a = -3\) donne \(1/\Gamma(-3) = 0\) (entier négatif, un pôle de \(\Gamma\)) ; \(a = -2,5\) donne environ \(-1,0579\) ; \(a = 0,5\) donne \(1/\sqrt{\pi} \approx 0,5642\) ; \(a = 1\) et \(a = 2\) donnent tous deux 1 ; \(a = 5\) donne \(1/24 \approx 0,04167\) ; et \(a = 7\) donne \(1/720 \approx 0,001389\). La courbe atteint son maximum près de \(a \approx 1,46\), là où \(\Gamma(a)\) atteint son minimum (\(\approx 0,8856\)), ce qui donne un maximum \(1/\Gamma \approx 1,129\).
FAQ
Pourquoi \(1/\Gamma(a)\) vaut-il zéro en 0 et aux entiers négatifs ? Parce que \(\Gamma(a)\) y présente des pôles simples : sa réciproque s'annule donc. Nous détectons les entiers négatifs ou nuls et renvoyons exactement 0.
Et pour de très grandes valeurs de a ? \(\Gamma(a)\) croît extrêmement vite et provoque un dépassement de capacité ; nous renvoyons alors \(1/\Gamma = 0\) plutôt que NaN.
Quelle est sa précision ? L'approximation de Lanczos \(g=7\) est précise à environ 15 chiffres significatifs sur toute la droite réelle, ce qui est largement suffisant pour la tabulation et le tracé.
