Qu'est-ce que la fonction Gamma ?
La fonction Gamma, notée \(\Gamma(a)\), est le prolongement continu de la factorielle aux nombres réels (et complexes). Pour un entier positif n, elle vérifie \(\Gamma(n) = (n-1)!\), d'où \(\Gamma(5) = 4! = 24\). Pour un argument réel a dont la partie réelle est positive, elle se définit par l'intégrale impropre $$\Gamma\!\left(a\right) = \int_{0}^{\infty} t^{\,a - 1}\, e^{-t}\, dt$$ Ce calculateur renvoie \(\Gamma(a)\) pour tout réel a que vous saisissez.
Comment utiliser ce calculateur
Saisissez l'argument réel a dans le champ « Variable a », puis choisissez le nombre de décimales à afficher. L'intégrande \(t^{a-1}e^{-t}\) ainsi que les bornes de 0 à l'infini sont fixées par la définition : vous n'avez donc qu'à fournir a. L'outil affiche alors \(\Gamma(a)\). Si vous entrez a = 0 ou un entier négatif, il indique « non défini », car la fonction Gamma y possède un pôle.
La formule expliquée
Plutôt que de calculer l'intégrale numériquement à chaque fois, le calculateur s'appuie sur l'approximation de Lanczos (g = 7, neuf coefficients), qui reproduit la valeur de l'intégrale avec environ 15 chiffres significatifs. Pour a ≤ 0,5, il applique d'abord la formule de réflexion \(\Gamma(a)\cdot\Gamma(1-a) = \pi/\sin(\pi a)\), qui ramène l'argument dans la zone bien conditionnée et fournit même les valeurs finies (parfois négatives) pour les arguments négatifs non entiers.
Exemple détaillé
Prenons a = 3,5. En utilisant la relation de récurrence \(\Gamma(a) = (a-1)\cdot\Gamma(a-1)\) : $$\Gamma(3{,}5) = 2{,}5 \cdot 1{,}5 \cdot 0{,}5 \cdot \Gamma(0{,}5) = 1{,}875 \cdot \sqrt{\pi} = 1{,}875 \cdot 1{,}7724538509 \approx 3{,}3233509704$$ Le calculateur renvoie exactement la même valeur.
FAQ
Pourquoi \(\Gamma(0)\) est-elle non définie ? L'intégrale diverge et la fonction présente un pôle simple en 0 et en chaque entier négatif : la valeur y est donc infinie.
Que vaut \(\Gamma(0{,}5)\) ? Exactement \(\sqrt{\pi} \approx 1{,}7724538509\), un résultat célèbre lié à l'intégrale de Gauss.
Quelle est la précision du résultat ? L'approximation de Lanczos est précise à environ 15 chiffres pour les arguments usuels, ce qui suffit largement pour presque toutes les applications.
