Ce que fait ce calculateur
Cet outil évalue une fraction continue généralisée de la forme \(f(x) = b_0 + a_1/(b_1 + a_2/(b_2 + a_3/(b_3 + \ldots)))\). Sa particularité : le terme initial \(b_0\), le n-ième numérateur \(a_n\) et le n-ième dénominateur \(b_n\) sont fournis sous forme d'expressions mathématiques pouvant dépendre de la variable \(x\) et de l'indice courant \(n\). Le calculateur substitue votre valeur de \(x\), engendre les termes pour \(n = 1, 2, 3, \ldots\), puis renvoie la valeur limite \(f(x)\) accompagnée d'un tableau des réduites successives \(f_n(x)\). C'est un pur utilitaire d'analyse numérique, valable partout : aucune règle régionale ni unité n'entre en jeu.
Mode d'emploi
Saisissez trois expressions et une valeur de \(x\). Chaque expression peut utiliser les symboles \(x\) et \(n\), les opérateurs + - * / ^ (puissance) et les fonctions sqrt, exp, ln, log, sin, cos, tan, ainsi que les constantes pi et e. Choisissez le nombre de chiffres significatifs pour régler l'affichage du résultat (cela ne modifie que la tolérance de convergence et la présentation, pas les calculs eux-mêmes). La zone de résultat indique \(f(x)\) et l'indice \(n\) auquel la convergence a été atteinte ; le tableau dresse les premières réduites pour que vous puissiez voir la valeur se stabiliser.
La formule expliquée
Les réduites sont produites par la relation de récurrence fondamentale (méthode directe). En partant de \(A_{-1} = 1\), \(A_0 = b_0\), \(B_{-1} = 0\), \(B_0 = 1\), chaque nouveau niveau pose $$A_n = b_n A_{n-1} + a_n A_{n-2}$$ et $$B_n = b_n B_{n-1} + a_n B_{n-2},$$ et la n-ième réduite vaut \(f_n = A_n / B_n\). L'itération s'arrête dès que deux réduites consécutives coïncident à la précision demandée, ou après un plafond strict de 1000 termes.
Exemple détaillé
Reprenez les valeurs par défaut \(b_0 = 1\), \(a_n = x - 1\), \(b_n = 2\), avec \(x = 5\). Il s'agit de la fraction continue classique de \(\sqrt{x}\) : $$\sqrt{x} = 1 + (x-1)/(2 + (x-1)/(2 + \ldots)).$$ Pour \(x = 5\), chaque numérateur vaut 4 et chaque dénominateur vaut 2. Les premières réduites sont \(f_1 = 3\), \(f_2 = 2\), \(f_3 = 2{,}3333\ldots\), \(f_4 = 2{,}2\), toutes convergeant vers \(\sqrt{5} = 2{,}2360679774997896\). Le point fixe \(t = 2 + 4/t\) a pour solution \(t = 1 + \sqrt{5}\), d'où \(f = 1 + 4/(1+\sqrt{5}) = \sqrt{5}\).
FAQ
\(a_n\) et \(b_n\) peuvent-ils dépendre de l'indice \(n\) ? Oui. Par exemple, la fonction \(x/(e^x - 1)\) utilise \(b_0 = 1 - x/2\), \(a_n = x^2/4\), \(b_n = 2n + 1\), où \(b_n\) croît avec \(n\).
Que se passe-t-il si un dénominateur devient nul ? L'évaluateur substitue un epsilon minuscule pour poursuivre le calcul, à la manière de la méthode de Lentz modifiée ; une non-convergence persistante est signalée.
Pourquoi s'arrêter à 1000 termes ? C'est le plafond de sécurité. Si la fraction n'a pas convergé à ce stade, la dernière réduite est renvoyée avec un avertissement.
