Bu hesaplayıcı ne işe yarar?
Bu araç, \(f(x) = b_0 + a_1/(b_1 + a_2/(b_2 + a_3/(b_3 + \cdots)))\) biçimindeki bir genel sürekli kesiri değerlendirir. Onu özel kılan nokta şudur: baş terim b0, n'inci pay a_n ve n'inci payda b_n, x değişkenine ve sıra indeksi n'e bağlı olabilen matematiksel ifadeler olarak girilir. Hesaplayıcı verdiğiniz x değerini yerine koyar, n = 1, 2, 3, ... için terimleri üretir ve yakınsak değer f(x) ile birlikte ara yakınsayanları f_n(x) listeleyen bir tablo sunar. Tamamen sayısal analiz amaçlı bir araçtır ve evrensel olarak geçerlidir — herhangi bir bölgesel kural ya da birim söz konusu değildir.
$$f(\text{x}) = \text{b}_0 + \cfrac{\text{a}_1}{\text{b}_1 + \cfrac{\text{a}_2}{\text{b}_2 + \cfrac{\text{a}_3}{\text{b}_3 + \cdots}}}$$Nasıl kullanılır?
Üç ifade ve bir x değeri girin. Her ifade x ve n sembollerini; + - * / ^ (üs) operatörlerini; sqrt, exp, ln, log, sin, cos, tan fonksiyonlarını ve pi ile e sabitlerini kullanabilir. Sonucun nasıl gösterileceğini ayarlamak için anlamlı basamak sayısını seçin (bu yalnızca yakınsama toleransını ve görünümü değiştirir, matematiğin kendisini değil). Sonuç kutusu f(x) değerini ve yakınsamanın sağlandığı n indeksini gösterir; tablo ise ilk yakınsayanları sıralayarak değerin nasıl oturduğunu izlemenizi sağlar.
Formülün açıklaması
Yakınsayanlar, ileri yöndeki temel yineleme bağıntısıyla üretilir. \(A_{-1} = 1\), \(A_0 = b_0\), \(B_{-1} = 0\), \(B_0 = 1\) başlangıç değerlerinden hareketle her yeni seviyede \(A_n = b_n A_{n-1} + a_n A_{n-2}\) ve \(B_n = b_n B_{n-1} + a_n B_{n-2}\) hesaplanır; n'inci yakınsayan ise \(f_n = A_n / B_n\) olur. Ardışık iki yakınsayan istenen hassasiyette birbirine eşitlendiğinde ya da en fazla 1000 terimlik sert sınıra ulaşıldığında yineleme durur.
Çözümlü örnek
Varsayılan değerleri kullanın: \(b_0 = 1\), \(a_n = x - 1\), \(b_n = 2\) ve \(x = 5\). Bu, \(\sqrt{x}\) için klasik sürekli kesirdir: $$\sqrt{x} = 1 + \cfrac{x-1}{2 + \cfrac{x-1}{2 + \cdots}}.$$ x = 5 olduğunda her pay 4, her payda 2'dir. İlk yakınsayanlar \(f_1 = 3\), \(f_2 = 2\), \(f_3 = 2.3333\ldots\), \(f_4 = 2.2\) olup hepsi \(\sqrt{5} = 2.2360679774997896\) değerine yakınsar. Sabit nokta \(t = 2 + 4/t\) denklemi \(t = 1 + \sqrt{5}\) çözümünü verir; buradan \(f = 1 + 4/(1+\sqrt{5}) = \sqrt{5}\) elde edilir.
Sık sorulan sorular
a_n ve b_n indeks n'e bağlı olabilir mi? Evet. Örneğin \(x/(e^x - 1)\) fonksiyonu \(b_0 = 1 - x/2\), \(a_n = x^2/4\), \(b_n = 2n + 1\) değerlerini kullanır; burada b_n, n ile birlikte büyür.
Bir payda sıfır olursa ne olur? Değerlendirici, hesabı sürdürebilmek için çok küçük bir epsilon değeri yerine koyar; bu, değiştirilmiş Lentz yönteminin mantığını yansıtır. Israrla yakınsamayan durumlar ise uyarı olarak bildirilir.
Neden 1000 terimde duruyor? Bu bir güvenlik sınırıdır. Kesir o noktaya kadar yakınsamamışsa, son hesaplanan yakınsayan bir uyarıyla birlikte döndürülür.
