什么是伽马函数？
伽马函数记作 \(\Gamma(a)\)，是阶乘在实数（乃至复数）范围内的连续推广。对于正整数 \(n\)，它满足 \(\Gamma(n) = (n-1)!\)，因此 \(\Gamma(5) = 4! = 24\)。当实数 \(a\) 的实部为正时，它由广义积分 $$\Gamma\!\left(a\right) = \int_{0}^{\infty} t^{\,a - 1}\, e^{-t}\, dt$$ 定义。本计算器可返回你输入的任意实数 \(a\) 所对应的 \(\Gamma(a)\) 值。
如何使用本计算器
在"变量 a"输入框中填入实数 \(a\)，并选择结果要显示的小数位数。被积函数 \(t^{a-1}e^{-t}\) 以及从 0 到无穷大的积分上下限都由定义本身确定，所以你只需提供 \(a\) 即可。计算器会给出 \(\Gamma(a)\) 的结果。如果你输入 \(a = 0\) 或负整数，结果会显示"未定义"，因为伽马函数在这些点上存在极点。
公式详解
计算器并非每次都对积分做数值积分，而是采用 Lanczos 近似（\(g = 7\)，九个系数）。该方法可将积分值还原到约 15 位有效数字。当 \(a \le 0.5\) 时，它会先应用反射公式 $$\Gamma(a)\cdot\Gamma(1-a) = \frac{\pi}{\sin(\pi a)}$$ 把自变量映射到数值表现良好的区间，并且能够在非整数的负自变量处给出有限值（有时为负值）。
实例演算
以 \(a = 3.5\) 为例。利用递推关系 \(\Gamma(a) = (a-1)\cdot\Gamma(a-1)\)：$$\Gamma(3.5) = 2.5 \cdot 1.5 \cdot 0.5 \cdot \Gamma(0.5) = 1.875 \cdot \sqrt{\pi} = 1.875 \cdot 1.7724538509 \approx 3.3233509704$$ 计算器给出的结果与此完全一致。
常见问题
为什么 \(\Gamma(0)\) 是未定义的？此处积分发散，函数在 0 以及每一个负整数处都有一个一阶极点，因此取值为无穷大。
\(\Gamma(0.5)\) 等于多少？恰好等于 \(\sqrt{\pi} \approx 1.7724538509\)，这是与高斯积分密切相关的著名结果。
计算结果有多精确？对于常见的自变量，Lanczos 近似可达到约 15 位数字的精度，对于几乎所有实际应用都绰绰有余。
