什么是对数伽马函数？
对数伽马函数记作 \(\ln\Gamma(a)\) 或 \(\ln(\Gamma(a))\)，也就是伽马函数 \(\Gamma(a)\) 的自然对数。伽马函数把阶乘从整数推广到了实数和复数：当 \(n\) 为正整数时，\(\Gamma(n) = (n-1)!\)。由于 \(\Gamma(a)\) 增长得极其迅猛，科学家和统计学家几乎总是改用它的对数形式来计算，以避免数值溢出。lnGamma 在概率论（贝塔分布、伽马分布、卡方检验）、组合数学以及数值分析中随处可见。
如何使用本计算器
输入参数 \(a\)（任意实数），然后点击计算即可。工具会给出自然对数形式的 \(\ln\Gamma(a)\)，同时附上以 10 为底的版本（Log10 Gamma）。当 \(a\) 大于 0 时，结果为实数。在 \(a = 0, -1, -2, -3\dots\) 这些点上，伽马函数存在极点，因此 lnGamma 在此处无定义，计算器会作出相应提示。对于非整数的负数 \(a\)，Gamma 可能取负值，此时计算器会通过反射公式给出实数主值。
公式详解
本计算器采用 Lanczos 逼近算法（\(g = 7\)，九个系数），这是一种速度快、精度高的闭式方法。令 \(x = a - 1\)，\(t = x + 7.5\)，先计算 Lanczos 系数的加权和 \(A\)，再代入公式
$$\ln\Gamma(a) = \tfrac{1}{2}\ln(2\pi) + \left(x+\tfrac{1}{2}\right)\ln(t) - t + \ln A$$当 \(a\) 小于或等于 0.5 时，则借助反射公式
$$\Gamma(a)\,\Gamma(1-a) = \frac{\pi}{\sin(\pi a)}$$将问题转换到 Lanczos 级数收敛良好的区间求解。
计算实例
当 \(a = 3.5\) 时：
$$\Gamma(3.5) = 2.5 \times 1.5 \times 0.5 \times \sqrt{\pi} = 1.875 \times 1.7724538509 = 3.32335097045$$因此
$$\ln\Gamma(3.5) = \ln(3.32335097045) = 1.20097360234707$$再验证一例：当 \(a = 5\) 时，\(\Gamma(5) = 4! = 24\)，所以
$$\ln\Gamma(5) = \ln(24) = 3.17805383034795$$常见问题
为什么要用伽马函数的对数，而不是伽马函数本身？ 即便 \(a\) 不算太大，\(\Gamma(a)\) 也会让标准浮点数发生溢出（\(\Gamma(171)\) 就已经超出了双精度浮点的范围），而 lnGamma 的数值则始终在可控范围内，因此对数形式才是实用之选。
lnGamma(1) 和 lnGamma(2) 等于多少？ 两者都等于 0，因为 \(\Gamma(1) = \Gamma(2) = 1\)，而 \(\ln(1) = 0\)。该函数在 \(a \approx 1.4616\) 附近取得最小值。
计算结果精确吗？ 对于常见的参数，Lanczos 逼近的精度约为 15 位有效数字，与双精度浮点的精度相当。
