什么是艾里函数？
艾里函数 Ai(x) 与 Bi(x) 是艾里微分方程 y'' = x·y（即 y'' - x·y = 0）的两个线性无关解。它们在物理与应用数学中随处可见：量子力学中经典转折点附近的处理（WKB 连接问题）、光学中焦散与彩虹的描述，以及渐近分析等。当 x 取较大的正值时，Ai(x) 衰减为零，而 Bi(x) 则呈指数增长；当 x 为负值时，两者都会振荡，并以 |x|^(-1/4) 的速率缓慢衰减。
如何使用本计算器
输入任意有限实数 x（正数、负数或零均可），即可读出对应的 Ai(x) 与 Bi(x) 值。默认值 x = 1.0 仅作为起点示例。这里没有单位——x 是一个纯粹的无量纲实数。
公式详解
当 |x| 不太大时，计算器采用处处收敛的幂级数。两个级数 f(x) 与 g(x) 通过稳定的递推关系求和：对于 f，从 1 开始，term_k = term_(k-1) × x³ / ((3k-1)(3k))；对于 g，从 x 开始，term_k = term_(k-1) × x³ / ((3k)(3k+1))。然后 Ai(x) = c₁f - c₂g，Bi(x) = √3 (c₁f + c₂g)，其中 c₁ = Ai(0) = 0.3550280539，c₂ = -Ai'(0) = 0.2588194038。当 |x| 超过约 8 时，程序会切换到渐近展开式，以避免相消误差。
计算实例（x = 1）
f(1) ≈ 1.1722994，g(1) ≈ 1.0853395。于是 Ai(1) = 0.3550280539×1.1722994 - 0.2588194038×1.0853395 ≈ 0.1352924，Bi(1) = √3×(0.4161680 + 0.2808727) ≈ 1.2074236。这与标准参考值完全吻合。
常见问题
Ai(0) 与 Bi(0) 等于多少？ Ai(0) = 0.3550280539，Bi(0) = √3×Ai(0) = 0.6149266274，二者都有精确的闭式表达式。
为什么 Bi(x) 会急剧增大？ 当 x 取较大正值时，Bi(x) 以 exp((2/3)x^(3/2)) 的速率增长，约在 x ≈ 100 时会超出双精度浮点数的表示范围。这是正常现象，并非错误。
可以输入负数 x 吗？ 可以。当 x 为较大的负值时，函数会振荡，此时计算器会采用振荡型渐近公式以保证精度。
