Что такое функции Эйри?
Функции Эйри \(\text{Ai}(x)\) и \(\text{Bi}(x)\) — это два линейно независимых решения дифференциального уравнения Эйри \(y'' = x\cdot y\) (то же самое, что \(y'' - x\cdot y = 0\)). Они встречаются повсюду в физике и прикладной математике: вблизи классических точек поворота в квантовой механике (задача сшивки в методе ВКБ), при описании каустик и радуги в оптике, а также в асимптотическом анализе. Функция \(\text{Ai}(x)\) убывает при больших положительных \(x\), тогда как \(\text{Bi}(x)\) в том же пределе растёт экспоненциально. При отрицательных \(x\) обе функции колеблются и медленно затухают как \(|x|^{-1/4}\).
Как пользоваться калькулятором
Введите любое конечное вещественное значение \(x\) (положительное, отрицательное или ноль) и получите значения \(\text{Ai}(x)\) и \(\text{Bi}(x)\). По умолчанию задано \(x = 1{,}0\) — с него удобно начать. Единиц измерения нет: \(x\) — это безразмерное вещественное число.
Разбор формулы
При умеренных значениях \(|x|\) калькулятор использует степенной ряд, сходящийся при любом \(x\). Две суммы рядов \(f(x)\) и \(g(x)\) вычисляются устойчивым рекуррентным соотношением: для f \(\text{член}_k = \text{член}_{k-1} \times x^3 / ((3k-1)(3k))\), начиная с 1; для g \(\text{член}_k = \text{член}_{k-1} \times x^3 / ((3k)(3k+1))\), начиная с \(x\). Тогда $$\text{Ai}(x) = c_1 f(x) - c_2 g(x), \quad \text{Bi}(x) = \sqrt{3}\,\bigl(c_1 f(x) + c_2 g(x)\bigr)$$ где \(c_1 = \text{Ai}(0) = 0{,}3550280539\) и \(c_2 = -\text{Ai}'(0) = 0{,}2588194038\). При \(|x|\) примерно больше 8 алгоритм переключается на асимптотические разложения, чтобы избежать потери точности из-за взаимного сокращения слагаемых.
Пример расчёта (x = 1)
\(f(1) \approx 1{,}1722994\) и \(g(1) \approx 1{,}0853395\). Тогда $$\text{Ai}(1) = 0{,}3550280539\times 1{,}1722994 - 0{,}2588194038\times 1{,}0853395 \approx 0{,}1352924$$ а $$\text{Bi}(1) = \sqrt{3}\times(0{,}4161680 + 0{,}2808727) \approx 1{,}2074236$$ Эти значения совпадают со стандартными справочными данными.
Частые вопросы
Чему равны Ai(0) и Bi(0)? \(\text{Ai}(0) = 0{,}3550280539\) и \(\text{Bi}(0) = \sqrt{3}\times\text{Ai}(0) = 0{,}6149266274\) — это точные значения в замкнутой форме.
Почему Bi(x) уходит в бесконечность? При больших положительных \(x\) функция \(\text{Bi}(x)\) растёт как \(\exp\bigl((2/3)\cdot x^{3/2}\bigr)\) и при \(x \approx 100\) превышает диапазон числа с двойной точностью (overflow). Это ожидаемое поведение, а не ошибка.
Можно ли использовать отрицательные x? Да. При больших отрицательных \(x\) функции колеблются, и для точности калькулятор применяет осциллирующие асимптотические формы.
