Калькулятор неполной гамма-функции

Введите расчет

a (параметр формы, a > 0)

x (аргумент, x ≥ 0)

Математическая формула

Show calculation steps (1)

1. Upper Incomplete Gamma

   

   Upper incomplete gamma; complement of lower with respect to the complete gamma.

Результатов

Нижняя неполная гамма γ(a,x)

0,8646647168

1-го рода, интеграл от 0 до x

Верхняя неполная гамма Γ(a,x)	0,1353352832
Полная гамма Γ(a)	1
Проверка тождества γ + Γ	0.86466471676338730,1353352832

Что такое неполная гамма-функция?

Неполная гамма-функция обобщает обычную (полную) гамма-функцию: интеграл обрывается в конечной точке, а не доводится до бесконечности. Нижняя неполная гамма-функция \(\gamma(a,x)\) интегрирует \(t^{a-1} e^{-t}\) от 0 до x, а верхняя неполная гамма-функция \(\Gamma(a,x)\) — от x до бесконечности. Обе зависят от параметра формы a и аргумента x и являются чистыми безразмерными действительными числами. Их постоянно используют в статистике (функции распределения хи-квадрат и гамма-распределения), физике, теории надёжности и теории массового обслуживания.

Нижняя гамма — это площадь от 0 до x; верхняя гамма — хвост от x до бесконечности; вместе они дают полную гамму.

Как пользоваться калькулятором

Введите параметр формы a (строго положительный, \(a > 0\)) и аргумент x (неотрицательный, \(x \geq 0\)). Калькулятор вернёт \(\gamma(a,x)\), \(\Gamma(a,x)\) и полную гамма-функцию \(\Gamma(a)\), чтобы вы могли проверить тождество \(\gamma(a,x) + \Gamma(a,x) = \Gamma(a)\). При \(x = 0\) нижняя функция равна 0, а верхняя совпадает с \(\Gamma(a)\); с ростом x нижняя функция стремится к \(\Gamma(a)\), а верхняя — к 0.

Формула и алгоритм

Определяющие интегралы таковы:

$$\gamma\!\left(a,\, x\right) = \int_{0}^{x} t^{\,a-1}\, e^{-t}\, dt$$

и

$$\Gamma\!\left(a,\, x\right) = \int_{x}^{\infty} t^{\,a-1}\, e^{-t}\, dt = \Gamma\!\left(a\right) - \gamma\!\left(a,\, x\right)$$

того же подынтегрального выражения. Для устойчивого вычисления инструмент использует регуляризованные формы \(P(a,x) = \gamma(a,x)/\Gamma(a)\) и \(Q(a,x) = \Gamma(a,x)/\Gamma(a)\). При \(x < a+1\) быстро сходящийся степенной ряд даёт P; в остальных случаях непрерывная дробь по алгоритму Ленца даёт Q. Полная гамма-функция \(\Gamma(a)\) находится через приближение Ланцоша для \(\ln \Gamma(a)\). Это классическая схема gammp/gammq из «Numerical Recipes», точная примерно до 15 значащих цифр в двойной точности.

Реклама

Калькулятор выбирает разложение в ряд, когда x мало по сравнению с a, и цепную дробь в остальных случаях — для быстрой сходимости.

Разобранный пример

Возьмём \(a = 1\) и \(x = 2\). Поскольку \(t^{a-1} = t^0 = 1\), нижняя функция равна интегралу \(e^{-t}\) от 0 до 2 \(= 1 - e^{-2} = 1 - 0.13533528 = 0.86466472\). Верхняя функция равна \(e^{-2} = 0.13533528\), а \(\Gamma(1) = 1\). Проверка тождества \(0.86466472 + 0.13533528 = 1.0\) подтверждает результат.

Частые вопросы

Почему a должно быть положительным? Сходящиеся определения и вычисление ln-гаммы по Ланцошу требуют \(a > 0\); в неположительных целых точках у \(\Gamma(a)\) есть полюса.

А если x равен 0? Тогда \(\gamma(a,0) = 0\) и \(\Gamma(a,0) = \Gamma(a)\), то есть верхняя функция совпадает с полной гамма-функцией.

Насколько точен результат? Арифметика двойной точности и разбиение «ряд / непрерывная дробь» дают около 15 значащих цифр во всей допустимой области.