Что такое калькулятор неполной бета-функции?
Этот инструмент вычисляет неполную бета-функцию \(B_{x}(a,b)\) и её нормированную форму — регуляризованную неполную бета-функцию \(I_{x}(a,b)\) — для вещественных параметров формы \(a > 0\), \(b > 0\) и верхнего предела \(0 \le x \le 1\). Это чистая математика: она работает одинаково везде и не зависит от каких-либо региональных правил. Поскольку \(I_{x}(a,b)\) совпадает с функцией распределения (CDF) бета-распределения, она лежит в основе хвостов распределений Стьюдента (t), Фишера (F) и биномиального.
Как пользоваться калькулятором
Введите два параметра формы \(a\) и \(b\) (оба строго положительные) и верхний предел \(x\) в диапазоне от 0 до 1. Калькулятор выдаёт \(I_{x}(a,b)\) как основное значение, а также ненормированную функцию \(B_{x}(a,b)\) и полную бета-функцию \(B(a,b)\). Двойная точность обеспечивает примерно 15 надёжных значащих цифр.
Разбор формулы
Неполная бета-функция — это частный интеграл $$B_{x}(a,b) = \int_{0}^{x} t^{\,a-1}(1-t)^{\,b-1}\,dt.$$ Полная бета-функция равна $$B(a,b) = \frac{\Gamma(a)\,\Gamma(b)}{\Gamma(a+b)}.$$ Деление одного на другое даёт регуляризованную форму $$I_{x}(a,b) = \frac{B_{x}(a,b)}{B(a,b)},$$ которая всегда лежит в отрезке \([0, 1]\). Мы вычисляем \(I_{x}\) с помощью численно устойчивой непрерывной дроби и приближения Ланцоша для логарифма гамма-функции, после чего восстанавливаем \(B_{x} = I_{x} \times B(a,b)\).
Пример с решением
Возьмём \(a = 1\), \(b = 3\), \(x = 0{,}4\). При \(a = 1\) подынтегральное выражение равно \((1-t)^{2}\), поэтому $$B_{x} = \frac{1 - 0{,}6^{3}}{3} = \frac{0{,}784}{3} = 0{,}26133.$$ Полная бета-функция равна \(B(1,3) = \frac{1\cdot 2}{6} = \frac{1}{3}\). Следовательно, $$I_{x} = \frac{0{,}26133}{0{,}33333} = 0{,}784,$$ что согласуется с тождеством \(I_{0{,}4}(1,3) = 1 - (1-0{,}4)^{3} = 0{,}784\).
Частые вопросы
В чём разница между \(B_{x}\) и \(I_{x}\)? \(B_{x}\) — это «сырой» частный интеграл, а \(I_{x} = B_{x}/B(a,b)\) — нормированное значение в пределах \([0, 1]\).
Почему a и b должны быть положительными? Гамма-функция имеет полюсы в неположительных целых числах, а в остальных случаях интеграл расходится, поэтому требуется \(a > 0\) и \(b > 0\).
Что происходит на концах отрезка? При \(x = 0\) и \(B_{x}\), и \(I_{x}\) равны 0; при \(x = 1\) получаем \(I_{x} = 1\) и \(B_{x} = B(a,b)\).
