Qu'est-ce que le calculateur de fonction bêta incomplète ?
Cet outil calcule la fonction bêta incomplète \(B_{x}(a,b)\) ainsi que sa forme normalisée, la fonction bêta incomplète régularisée \(I_{x}(a,b)\), pour des paramètres de forme réels \(a > 0\), \(b > 0\) et une borne supérieure \(0 \le x \le 1\). Il s'agit de mathématiques pures : la formule est universelle et ne dépend d'aucune règle régionale. Comme \(I_{x}(a,b)\) coïncide avec la fonction de répartition (FR) de la loi bêta, elle gouverne les queues des lois de Student, de Fisher et binomiale.
Comment l'utiliser
Saisissez les deux paramètres de forme \(a\) et \(b\) (tous deux strictement positifs) ainsi que la borne supérieure \(x\) comprise entre 0 et 1. Le calculateur affiche \(I_{x}(a,b)\) comme résultat principal, accompagné de la valeur non normalisée \(B_{x}(a,b)\) et de la bêta complète \(B(a,b)\). La double précision garantit environ 15 chiffres significatifs fiables.
La formule expliquée
La fonction bêta incomplète est l'intégrale partielle $$B_{x}(a,b) = \int_{0}^{x} t^{\,a-1}(1-t)^{\,b-1}\,dt$$ La bêta complète vaut $$B(a,b) = \frac{\Gamma(a)\,\Gamma(b)}{\Gamma(a+b)}$$ En faisant le rapport, on obtient la forme régularisée $$I_{x}(a,b) = \frac{B_{x}(a,b)}{B(a,b)}$$ toujours comprise dans l'intervalle \([0,1]\). Nous évaluons \(I_{x}\) à l'aide d'une fraction continue numériquement stable et d'une approximation de Lanczos du logarithme de la fonction gamma, puis nous retrouvons \(B_{x} = I_{x} \times B(a,b)\).
Exemple détaillé
Prenons \(a = 1\), \(b = 3\), \(x = 0{,}4\). Avec \(a = 1\), l'intégrande devient \((1-t)^{2}\), d'où $$B_{x} = \frac{1 - 0{,}6^{3}}{3} = \frac{0{,}784}{3} = 0{,}26133$$ La bêta complète vaut \(B(1,3) = \frac{1\cdot 2}{6} = \frac{1}{3}\). On obtient donc $$I_{x} = \frac{0{,}26133}{0{,}33333} = 0{,}784$$ ce qui confirme l'identité \(I_{0{,}4}(1,3) = 1 - (1-0{,}4)^{3} = 0{,}784\).
FAQ
Quelle est la différence entre \(B_{x}\) et \(I_{x}\) ? \(B_{x}\) est l'intégrale partielle brute ; \(I_{x} = B_{x}/B(a,b)\) en est la version normalisée sur \([0,1]\).
Pourquoi \(a\) et \(b\) doivent-ils être positifs ? La fonction gamma possède des pôles aux entiers négatifs ou nuls et l'intégrale diverge sinon ; les conditions \(a > 0\) et \(b > 0\) sont donc indispensables.
Que se passe-t-il aux bornes ? En \(x = 0\), \(B_{x}\) et \(I_{x}\) valent toutes deux 0 ; en \(x = 1\), on a \(I_{x} = 1\) et \(B_{x} = B(a,b)\).
