Máy tính hàm Beta không đầy đủ là gì?
Công cụ này tính hàm beta không đầy đủ \(B_{x}(a,b)\) cùng dạng chuẩn hóa của nó là hàm beta không đầy đủ chuẩn hóa \(I_{x}(a,b)\), với hai tham số dạng thực \(a > 0\), \(b > 0\) và cận trên \(0 \le x \le 1\). Đây là toán học thuần túy, áp dụng được ở mọi nơi và không phụ thuộc vào bất kỳ quy tắc vùng miền nào. Vì \(I_{x}(a,b)\) bằng đúng hàm phân phối tích lũy (CDF) của phân phối Beta, nó là nền tảng cho phần đuôi của các phân phối Student-t, F và nhị thức.
Cách sử dụng
Nhập hai tham số dạng \(a\) và \(b\) (đều phải dương) cùng cận trên \(x\) nằm trong khoảng từ 0 đến 1. Máy tính sẽ trả về \(I_{x}(a,b)\) làm kết quả chính, kèm theo giá trị chưa chuẩn hóa \(B_{x}(a,b)\) và hàm beta đầy đủ \(B(a,b)\). Độ chính xác kép cho khoảng 15 chữ số có nghĩa đáng tin cậy.
Giải thích công thức
Hàm beta không đầy đủ là tích phân riêng $$B_{x}(a,b) = \int_{0}^{x} t^{\,a-1}(1-t)^{\,b-1}\,dt.$$ Hàm beta đầy đủ là $$B(a,b) = \frac{\Gamma(a)\,\Gamma(b)}{\Gamma(a+b)}.$$ Lấy thương của chúng ta được dạng chuẩn hóa $$I_{x}(a,b) = \frac{B_{x}(a,b)}{B(a,b)},$$ giá trị này luôn nằm trong đoạn \([0,1]\). Chúng tôi tính \(I_{x}\) bằng phân số liên tục ổn định về mặt số học cùng xấp xỉ Lanczos cho hàm log-gamma, rồi suy ra \(B_{x} = I_{x} \times B(a,b)\).
Ví dụ minh họa
Lấy \(a = 1\), \(b = 3\), \(x = 0.4\). Với \(a = 1\) thì hàm dưới dấu tích phân là \((1-t)^{2}\), nên $$B_{x} = \frac{1 - 0.6^{3}}{3} = \frac{0.784}{3} = 0.26133.$$ Hàm beta đầy đủ là \(B(1,3) = \frac{1\cdot 2}{6} = \frac{1}{3}\). Do đó $$I_{x} = \frac{0.26133}{0.33333} = 0.784,$$ đúng với đẳng thức \(I_{0.4}(1,3) = 1 - (1-0.4)^{3} = 0.784\).
Câu hỏi thường gặp
\(B_{x}\) và \(I_{x}\) khác nhau ở điểm nào? \(B_{x}\) là tích phân riêng thô; còn \(I_{x} = B_{x}/B(a,b)\) đã được chuẩn hóa về đoạn \([0,1]\).
Vì sao \(a\) và \(b\) phải dương? Hàm gamma có cực điểm tại các số nguyên không dương và tích phân sẽ phân kỳ trong trường hợp khác, nên bắt buộc \(a > 0\) và \(b > 0\).
Tại các điểm đầu mút thì sao? Khi \(x = 0\), cả \(B_{x}\) và \(I_{x}\) đều bằng 0; khi \(x = 1\) thì \(I_{x} = 1\) và \(B_{x} = B(a,b)\).
