不完全贝塔函数计算器

输入计算

a (shape parameter, a > 0)

b (shape parameter, b > 0)

x (upper limit, 0 ≤ x ≤ 1)

有效数字位数 6 10 14 15

结果

Regularized Incomplete Beta  I_x(a,b)

0.784

always in [0, 1] — equals the Beta-distribution CDF

Incomplete beta Bx(a,b)	0.261333333333333
完全贝塔函数 B(a,b)	0.333333333333333
恒等式	Ix(a,b) = Bx(a,b) / B(a,b)

不完全贝塔函数计算器是什么？

本工具用于计算不完全贝塔函数 B_x(a,b) 及其归一化形式——正则化不完全贝塔函数 I_x(a,b)，适用范围为实数形状参数 a > 0、b > 0，以及上限 0 ≤ x ≤ 1。这是纯数学运算，全球通用，不涉及任何地区性规则。由于 I_x(a,b) 恰好等于贝塔分布的累积分布函数（CDF），因此它是 Student-t 分布、F 分布和二项分布尾部概率的基础。

使用方法

输入两个形状参数 a 和 b（均须严格为正），以及介于 0 到 1 之间的上限 x。计算器会以 I_x(a,b) 作为主要结果输出，同时给出未归一化的 B_x(a,b) 与完全贝塔函数 B(a,b)。双精度浮点运算可保证约 15 位有效数字的可靠精度。

公式解析

不完全贝塔函数是一个区间积分：B_x(a,b) = ∫₀^x t^a-1(1-t)^b-1 dt。完全贝塔函数为 B(a,b) = Γ(a)Γ(b)/Γ(a+b)。两者相除即得正则化形式 I_x(a,b) = B_x(a,b) / B(a,b)，其取值始终落在 [0,1] 区间内。我们采用数值稳定的连分式来计算 I_x，并用 Lanczos 近似法计算对数伽马函数，再通过 B_x = I_x × B(a,b) 还原出 B_x。

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B_x(a,b) 是被积函数从 0 到 x 的阴影面积；除以总面积即得到正则化的 I_x(a,b)。

实例演算

取 a = 1，b = 3，x = 0.4。当 a = 1 时，被积函数为 (1-t)²，于是 B_x = (1 - 0.6³)/3 = 0.784/3 = 0.26133。完全贝塔函数为 B(1,3) = 1·2/6 = 1/3。因此 I_x = 0.26133 / 0.33333 = 0.784，与恒等式 I_0.4(1,3) = 1 - (1-0.4)³ = 0.784 完全吻合。

正则化的 I_x(a,b) 从 0 增加到 1，等于贝塔分布的累积分布函数。

常见问题

B_x 和 I_x 有什么区别？B_x 是原始的区间积分值；I_x = B_x/B(a,b) 则被归一化到 [0,1] 区间。

为什么 a 和 b 必须为正？伽马函数在非正整数处存在极点，否则积分会发散，因此必须满足 a > 0 且 b > 0。

在端点处会发生什么？当 x = 0 时，B_x 与 I_x 均为 0；当 x = 1 时，I_x = 1，B_x = B(a,b)。