¿Qué es la calculadora de la función beta incompleta?
Esta herramienta calcula la función beta incompleta \(B_{x}(a,b)\) y su versión normalizada, la función beta incompleta regularizada \(I_{x}(a,b)\), para los parámetros de forma reales \(a > 0\), \(b > 0\) y un límite superior \(0 \le x \le 1\). Es matemática pura, así que vale en cualquier lugar y no depende de ninguna normativa regional. Como \(I_{x}(a,b)\) coincide con la función de distribución acumulada (CDF) de la distribución beta, sirve de base para las colas de las distribuciones t de Student, F y binomial.
Cómo utilizarla
Introduce los dos parámetros de forma \(a\) y \(b\) (ambos estrictamente positivos) y el límite superior \(x\) entre 0 y 1. La calculadora devuelve como resultado principal \(I_{x}(a,b)\), junto con la beta sin normalizar \(B_{x}(a,b)\) y la beta completa \(B(a,b)\). La doble precisión ofrece en torno a 15 cifras significativas fiables.
La fórmula explicada
La función beta incompleta es la integral parcial
$$B_{x}(a,b) = \int_{0}^{x} t^{\,a-1}(1-t)^{\,b-1}\,dt$$La beta completa es
$$B(a,b) = \frac{\Gamma(a)\,\Gamma(b)}{\Gamma(a+b)}$$Al dividir obtenemos la forma regularizada
$$I_{x}(a,b) = \frac{B_{x}(a,b)}{B(a,b)}$$que siempre está en \([0,1]\). Evaluamos \(I_{x}\) mediante una fracción continua numéricamente estable y una aproximación de Lanczos para el logaritmo de la función gamma, y luego recuperamos \(B_{x} = I_{x} \times B(a,b)\).
Ejemplo resuelto
Tomemos \(a = 1\), \(b = 3\), \(x = 0{,}4\). Con \(a = 1\) el integrando es \((1-t)^{2}\), de modo que
$$B_{x} = \frac{1 - 0{,}6^{3}}{3} = \frac{0{,}784}{3} = 0{,}26133$$La beta completa es
$$B(1,3) = \frac{1 \cdot 2}{6} = \frac{1}{3}$$Por tanto
$$I_{x} = \frac{0{,}26133}{0{,}33333} = 0{,}784$$lo que concuerda con la identidad
$$I_{0{,}4}(1,3) = 1 - (1-0{,}4)^{3} = 0{,}784$$
Preguntas frecuentes
¿Qué diferencia hay entre \(B_{x}\) e \(I_{x}\)? \(B_{x}\) es la integral parcial sin normalizar; \(I_{x} = B_{x}/B(a,b)\) está normalizada al intervalo \([0,1]\).
¿Por qué \(a\) y \(b\) deben ser positivos? La función gamma tiene polos en los enteros no positivos y, de lo contrario, la integral diverge, por lo que se exige \(a > 0\) y \(b > 0\).
¿Qué ocurre en los extremos? En \(x = 0\) tanto \(B_{x}\) como \(I_{x}\) valen 0; en \(x = 1\), \(I_{x} = 1\) y \(B_{x} = B(a,b)\).
