不完全 Beta 函數計算器

輸入計算

結果

Regularized Incomplete Beta I_x(a,b)

0.784

always in [0, 1] — equals the Beta-distribution CDF

Incomplete beta B_x(a,b)	0.261333333333333
完全 Beta B(a,b)	0.333333333333333
恆等式	I_x(a,b) = B_x(a,b) / B(a,b)

不完全 Beta 函數計算器是什麼？

這個工具可以計算不完全 Beta 函數 B_x(a,b)，以及它的標準化形式──正則化不完全 Beta 函數 I_x(a,b)，適用於形狀參數 a > 0、b > 0 與上限 0 ≤ x ≤ 1。這是純數學運算，全球通用，沒有任何地區規定。由於 I_x(a,b) 正好等於 Beta 分布的累積分布函數（CDF），它也是 Student-t 分布、F 分布與二項分布尾端機率的核心基礎。

使用方法

輸入兩個形狀參數 a 與 b（兩者都必須為正數），再輸入介於 0 到 1 之間的上限 x。計算器會以 I_x(a,b) 作為主要結果，同時列出未標準化的 B_x(a,b) 以及完全 Beta 函數 B(a,b)。採用雙精度運算，可提供約 15 位可靠的有效數字。

公式說明

不完全 Beta 函數是部分積分 B_x(a,b) = ∫₀^x t^a-1(1-t)^b-1 dt。完全 Beta 函數則為 B(a,b) = Γ(a)Γ(b)/Γ(a+b)。兩者相除即得到正則化形式 I_x(a,b) = B_x(a,b) / B(a,b)，其值必定落在 [0,1] 之間。我們以數值穩定的連分數搭配 log-gamma 函數的 Lanczos 近似法來計算 I_x，再由 B_x = I_x × B(a,b) 還原出 B_x。

貝塔被積函數曲線下從 0 到 x 的面積 — B_x(a,b) 是被積函數從 0 到 x 的陰影面積；除以總面積即得到正則化的 I_x(a,b)。

實例演算

取 a = 1、b = 3、x = 0.4。當 a = 1 時被積函數為 (1-t)²，因此 B_x = (1 - 0.6³)/3 = 0.784/3 = 0.26133。完全 Beta 函數為 B(1,3) = 1·2/6 = 1/3。於是 I_x = 0.26133 / 0.33333 = 0.784，恰好符合恆等式 I_0.4(1,3) = 1 - (1-0.4)³ = 0.784。