ما هي حاسبة دالة بيتا الناقصة؟
تحسب هذه الأداة دالة بيتا الناقصة \(B_{x}(a,b)\) وصورتها المعيارية، أي دالة بيتا الناقصة المُنظَّمة \(I_{x}(a,b)\)، من أجل معاملي الشكل الحقيقيين \(a > 0\) و\(b > 0\) وحدٍّ أعلى \(0 \le x \le 1\). وهي دالة رياضية بحتة تنطبق في كل مكان دون أي قواعد إقليمية. وبما أن \(I_{x}(a,b)\) تساوي الدالة التراكمية (CDF) لتوزيع بيتا، فإنها تشكّل أساس أطراف توزيعات ستيودنت-t وF وذي الحدّين.
طريقة الاستخدام
أدخل معاملي الشكل \(a\) و\(b\) (كلاهما موجب تمامًا) والحدّ الأعلى \(x\) بين 0 و1. تُرجع الحاسبة القيمة الرئيسية \(I_{x}(a,b)\)، إضافةً إلى \(B_{x}(a,b)\) غير المُنظَّمة ودالة بيتا الكاملة \(B(a,b)\). وتمنحك الدقة المزدوجة نحو 15 رقمًا معنويًا موثوقًا.
شرح الصيغة
دالة بيتا الناقصة هي التكامل الجزئي $$B_{x}(a,b) = \int_{0}^{x} t^{\,a-1}(1-t)^{\,b-1}\,dt.$$ أما دالة بيتا الكاملة فهي $$B(a,b) = \frac{\Gamma(a)\,\Gamma(b)}{\Gamma(a+b)}.$$ وبقسمة الأولى على الثانية نحصل على الصورة المُنظَّمة $$I_{x}(a,b) = \frac{B_{x}(a,b)}{B(a,b)},$$ التي تقع دائمًا ضمن المجال \([0,1]\). ونحسب \(I_{x}\) باستخدام كسر مستمر مستقر عدديًا وتقريب لانكزوس لدالة لوغاريتم غاما، ثم نستعيد \(B_{x} = I_{x} \times B(a,b)\).
مثال محلول
لنأخذ \(a = 1\) و\(b = 3\) و\(x = 0.4\). عندما تكون \(a = 1\) فإن المُكامِل يصبح \((1-t)^{2}\)، ومن ثَمّ $$B_{x} = \frac{1 - 0.6^{3}}{3} = \frac{0.784}{3} = 0.26133.$$ ودالة بيتا الكاملة هي \(B(1,3) = 1\cdot 2/6 = 1/3\). وبذلك تكون $$I_{x} = \frac{0.26133}{0.33333} = 0.784,$$ وهو ما يتطابق مع المتطابقة \(I_{0.4}(1,3) = 1 - (1-0.4)^{3} = 0.784\).
الأسئلة الشائعة
ما الفرق بين \(B_{x}\) و\(I_{x}\)؟ الدالة \(B_{x}\) هي التكامل الجزئي الخام؛ بينما \(I_{x} = B_{x}/B(a,b)\) مُنظَّمة ضمن المجال \([0,1]\).
لماذا يجب أن يكون \(a\) و\(b\) موجبَين؟ دالة غاما لها أقطاب عند الأعداد الصحيحة غير الموجبة، كما يتباعد التكامل فيما عدا ذلك، ولهذا يُشترط أن يكون \(a > 0\) و\(b > 0\).
ماذا يحدث عند الطرفين؟ عند \(x = 0\) تكون كلٌّ من \(B_{x}\) و\(I_{x}\) مساوية للصفر؛ وعند \(x = 1\) تكون \(I_{x} = 1\) و\(B_{x} = B(a,b)\).
