ماذا تفعل هذه الحاسبة
تبحث حاسبة عكس دالة بيتا الناقصة عن الحد الأعلى للتكامل x الذي تبلغ عنده دالة بيتا المختارة قيمة مستهدفة y. يمكنك عكس دالة بيتا الناقصة غير المنظَّمة \(B_x(a,b)\) أو نسختها المنظَّمة (المُطبَّعة) \(I_x(a,b)\). وبما أنّ \(I_x(a,b)\) تتزايد تزايداً رتيباً من 0 إلى 1، فإنّ هذا العكس هو بالضبط عملية حساب الكمية (نقطة النسبة المئوية) الكامنة وراء توزيع بيتا والقيم الحرجة لتوزيعات ستيودنت t وفيشر F وذات الحدين.
طريقة الاستخدام
اختر الدالة التي تريد عكسها. أدخل القيمة المستهدفة y ومعاملي الشكل الموجبين a وb. في الوضع المنظَّم يجب أن تقع قيمة y بين 0 و1. أمّا في الوضع غير المنظَّم فيجب أن تقع y بين 0 وقيمة بيتا الكاملة \(B(a,b)\)، التي تعرضها لك لوحة النتائج. ويجب أن يكون كلٌّ من a وb أكبر من 0 تماماً.
الصيغة والخوارزمية
تُحسب دالة بيتا الكاملة بالعلاقة $$B(a,b)=\exp\!\left(\ln\Gamma(a)+\ln\Gamma(b)-\ln\Gamma(a+b)\right)$$ ثمّ تُحوَّل القيمة المستهدفة إلى احتمال منظَّم p (حيث \(p=y\) بالنسبة إلى \(I_x\)، و\(p=y/B(a,b)\) بالنسبة إلى \(B_x\)). تُقيَّم الدالة الأمامية \(I_x(a,b)\) باستخدام كسر مستمر (تكرار لينتز المُعدَّل) مع حيلة تماثل الوسيطات المعيارية لتحقيق الاستقرار، وتُحَلّ المعادلة \(I_x(a,b)=p\) بطريقة التنصيف على المجال \([0,1]\)، وهي طريقة مضمونة التقارب.
مثال محلول
لنأخذ الوضع المنظَّم بقيم \(y = 0.3\) و\(a = 1\) و\(b = 3\). عندما يكون \(a = 1\) تنطبق المتطابقة \(I_x(1,b)=1-(1-x)^b\)، فيصبح \(1-(1-x)^3=0.3\) ومنه \((1-x)^3=0.7\)، أي \(1-x = 0.887904\) وبالتالي \(x \approx 0.1120959\). وفي الوضع غير المنظَّم بالقيم نفسها y وa وb: نجد \(B(1,3)=1/3\)، فيكون \(p=0.3/(1/3)=0.9\)، ومنه \((1-x)^3=0.1\) وبالتالي \(x \approx 0.5358407\).
الأسئلة الشائعة
ما الفرق بين \(B_x\) و\(I_x\)؟ إنّ \(I_x\) هي \(B_x\) مقسومة على بيتا الكاملة \(B(a,b)\)، لذا تتراوح \(I_x\) دائماً بين 0 و1 بينما تتراوح \(B_x\) بين 0 و\(B(a,b)\).
لماذا يجب أن يكون a وb موجبين؟ لأنّ التكامل المُعرِّف للدالة يتقارب فقط عندما يكون \(a>0\) و\(b>0\)؛ وإلا فإنّ دالة غاما والتكامل يصبحان غير معرَّفين.
ما مدى دقّة النتيجة؟ تتقارب خوارزمية إيجاد الجذر إلى دقّة مزدوجة تقريباً (نحو 15 رقماً معنوياً)، وهي أكثر من كافية لأعمال حساب الكميات الإحصائية.
