Ce que fait ce calculateur
Le calculateur de fonction bêta incomplète inverse détermine la borne supérieure d'intégration x pour laquelle une fonction bêta choisie atteint une valeur cible y. Vous pouvez inverser soit la fonction bêta incomplète non normalisée \(B_x(a,b)\), soit sa version régularisée (normalisée) \(I_x(a,b)\). Comme \(I_x(a,b)\) croît de façon monotone de 0 à 1, cette inversion correspond exactement au calcul du quantile (fonction de répartition inverse) qui sous-tend la loi bêta ainsi que les valeurs critiques des lois de Student (t), de Fisher (F) et binomiale.
Comment l'utiliser
Choisissez la fonction à inverser. Saisissez la cible y ainsi que les deux paramètres de forme positifs a et b. En mode régularisé, y doit être compris entre 0 et 1. En mode non normalisé, y doit se situer entre 0 et la valeur complète de la bêta \(B(a,b)\), que le panneau de résultats vous indique. Les deux paramètres a et b doivent être strictement supérieurs à 0.
La formule et l'algorithme
La bêta complète est calculée par $$B(a,b)=\exp\!\left(\ln\Gamma(a)+\ln\Gamma(b)-\ln\Gamma(a+b)\right).$$ La cible est convertie en une probabilité régularisée p (\(p=y\) pour \(I_x\), \(p=y/B(a,b)\) pour \(B_x\)). La fonction directe \(I_x(a,b)\) est évaluée à l'aide d'une fraction continue (itération de Lentz modifiée) avec l'astuce classique de l'argument symétrique pour garantir la stabilité, puis l'équation \(I_x(a,b)=p\) est résolue par dichotomie sur [0,1], ce qui assure la convergence.
Exemple détaillé
Prenons le mode régularisé avec y = 0,3, a = 1, b = 3. Lorsque a = 1, l'identité \(I_x(1,b)=1-(1-x)^{b}\) s'applique, donc \(1-(1-x)^{3}=0{,}3\) donne \((1-x)^{3}=0{,}7\), d'où \(1-x = 0{,}887904\) et \(x \approx 0{,}1120959\). En mode non normalisé avec les mêmes valeurs y, a, b : \(B(1,3)=1/3\), donc \(p=0{,}3/(1/3)=0{,}9\), ce qui donne \((1-x)^{3}=0{,}1\) et \(x \approx 0{,}5358407\).
FAQ
Quelle est la différence entre \(B_x\) et \(I_x\) ? \(I_x\) correspond à \(B_x\) divisé par la bêta complète \(B(a,b)\) ; ainsi, \(I_x\) varie toujours de 0 à 1, tandis que \(B_x\) varie de 0 à \(B(a,b)\).
Pourquoi a et b doivent-ils être positifs ? L'intégrale qui définit la fonction ne converge que pour \(a>0\) et \(b>0\) ; sinon, la fonction Gamma et l'intégrale ne sont pas définies.
Quelle est la précision du résultat ? La méthode de recherche de racine converge avec une précision proche de la double précision (environ 15 chiffres significatifs), ce qui est largement suffisant pour les calculs de quantiles statistiques.
