Ce que fait ce calculateur
Cet outil évalue la fonction bêta incomplète inférieure, définie par l'intégrale définie \(B_x(a,b) = \int_0^x t^{a-1}(1-t)^{b-1}\, dt\). L'intégrande \(t^{a-1}(1-t)^{b-1}\) constitue le noyau des lois bêta et bêta-binomiale. Lorsque la borne supérieure \(x = 1\) (avec une borne inférieure de 0), le résultat coïncide avec la fonction bêta complète \(B(a,b) = \Gamma(a)\Gamma(b)/\Gamma(a+b)\).
Comment l'utiliser
Saisissez les deux paramètres de forme : a (variable a) et b. Tous deux doivent être strictement positifs. Indiquez ensuite la borne inférieure de l'intervalle d'intégration ainsi que la borne supérieure x (généralement comprise entre 0 et 1). Choisissez le nombre de subdivisions n — c'est-à-dire le nombre de nœuds de Gauss-Legendre. Plus n est élevé, plus le résultat est précis ; \(n = 20\) suffit largement pour des intégrandes régulières. Conservez l'intervalle [0, 1] pour obtenir la fonction bêta complète.
La formule expliquée
L'intégrale est calculée par quadrature de Gauss-Legendre. Les nœuds standard \(x_i\) et les poids \(w_i\) sur [-1, 1] sont obtenus comme racines du polynôme de Legendre \(P_n\) grâce à la méthode de Newton, puis appliqués linéairement à l'intervalle choisi [c, d] :
$$t_i = \frac{d-c}{2}\cdot x_i + \frac{d+c}{2}$$L'intégrale est alors approchée par
$$B_x(a,b) = \int_{\text{c}}^{\text{x}} t^{\,\text{a}-1}\,(1-t)^{\,\text{b}-1}\,dt \;\approx\; \frac{d-c}{2}\sum_{i=1}^{n} w_i\, f\!\left(t_i\right)$$Comme la quadrature de Gauss-Legendre intègre exactement les polynômes de degré allant jusqu'à \(2n-1\), elle converge extrêmement vite pour les intégrandes régulières.
Exemple détaillé
Avec \(a = 3\), \(b = 5\), l'intervalle [0, 1] et \(n = 20\), le résultat est la fonction bêta complète
$$B(3,5) = \frac{2!\cdot 4!}{7!} = \frac{48}{5040} = 0{,}0095238095\ldots = \frac{1}{105}$$La quadrature retrouve cette valeur avec toute la précision de la double précision.
FAQ
Que se passe-t-il si \(0 < a < 1\) ou \(0 < b < 1\) ? L'intégrande présente alors une singularité intégrable à l'une des bornes. Comme les nœuds de Gauss-Legendre sont strictement intérieurs à l'intervalle, le résultat reste fini, mais la précision diminue — augmentez n.
Comment obtenir la fonction bêta incomplète régularisée \(I_x(a,b)\) ? Divisez ce résultat par la fonction bêta complète (que vous calculez en fixant l'intervalle à [0, 1]).
Pourquoi le résultat est-il parfois négatif ? Si la borne supérieure est inférieure à la borne inférieure, l'intégrale signée devient négative, ce qui est mathématiquement correct.
