Что считает этот калькулятор
Инструмент вычисляет нижнюю неполную бета-функцию, заданную определённым интегралом \(B_x(a,b) = \int_{0}^{x} t^{a-1}(1-t)^{b-1}\,dt\). Подынтегральное выражение \(t^{a-1}(1-t)^{b-1}\) — это ядро бета-распределения и бета-биномиального распределения. Когда верхний предел \(x = 1\) (а нижний равен 0), результат совпадает с полной бета-функцией \(B(a,b) = \Gamma(a)\Gamma(b)/\Gamma(a+b)\).
Как пользоваться
Введите два параметра формы: a (переменная a) и b. Оба должны быть положительными. Укажите нижнюю границу интервала интегрирования и верхний предел x (как правило, от 0 до 1). Выберите число разбиений n — количество узлов Гаусса–Лежандра. Чем больше n, тем выше точность; для гладких подынтегральных функций вполне достаточно \(n = 20\). Оставьте интервал [0, 1], чтобы получить полную бета-функцию.
Разбор формулы
Интеграл вычисляется методом квадратур Гаусса–Лежандра. Стандартные узлы \(x_i\) и веса \(w_i\) на отрезке [-1, 1] находятся как корни полинома Лежандра \(P_n\) с помощью метода Ньютона, а затем линейно отображаются на выбранный интервал [c, d]:
$$t_i = \frac{d-c}{2}\cdot x_i + \frac{d+c}{2}$$После этого интеграл аппроксимируется суммой
$$\frac{d-c}{2}\cdot \sum w_i\, f(t_i)$$Поскольку метод Гаусса–Лежандра точно интегрирует многочлены степени до \(2n-1\), для гладких функций он сходится чрезвычайно быстро.
Разбор примера
При \(a = 3\), \(b = 5\), интервале [0, 1] и \(n = 20\) результатом будет полная бета-функция
$$B(3,5) = \frac{2!\cdot 4!}{7!} = \frac{48}{5040} = 0{,}0095238095\ldots = \frac{1}{105}$$Квадратура воспроизводит это значение с полной точностью double.
Частые вопросы
Что если \(0 < a < 1\) или \(0 < b < 1\)? У подынтегральной функции возникает интегрируемая особенность на конце отрезка. Узлы Гаусса–Лежандра лежат внутри интервала, поэтому результат остаётся конечным, но точность падает — увеличьте n.
Как получить регуляризованную неполную бета-функцию \(I_x(a,b)\)? Разделите полученный результат на полную бета-функцию (её можно вычислить, задав интервал [0, 1]).
Почему результат иногда отрицательный? Если верхний предел меньше нижнего, интеграл со знаком становится отрицательным — это математически корректно.
