यह कैलकुलेटर क्या करता है
यह टूल निम्न अपूर्ण बीटा फंक्शन (lower incomplete beta function) की गणना करता है, जिसे इस निश्चित समाकल के रूप में परिभाषित किया जाता है: \(B_x(a,b) = \int_{0}^{x} t^{a-1}(1-t)^{b-1}\, dt\)। यहाँ समाकलित फलन \(t^{a-1}(1-t)^{b-1}\) बीटा और बीटा-द्विपद (beta-binomial) बंटनों का मूल कर्नेल है। जब ऊपरी सीमा \(x = 1\) हो (और निचली सीमा 0 हो), तो परिणाम पूर्ण बीटा फंक्शन \(B(a,b) = \Gamma(a)\Gamma(b)/\Gamma(a+b)\) के बराबर हो जाता है।
इसका उपयोग कैसे करें
दोनों आकार प्राचल (shape parameters) दर्ज करें: a (चर a) और b। दोनों धनात्मक होने चाहिए। समाकलन अंतराल की निचली सीमा और ऊपरी सीमा x (आमतौर पर 0 और 1 के बीच) सेट करें। विभाजनों की संख्या n चुनें — यानी गॉस-लीजेंड्रे नोड्स की कुल संख्या। n जितना अधिक होगा, परिणाम उतना ही सटीक मिलेगा; चिकने (smooth) समाकलित फलनों के लिए n = 20 पर्याप्त से अधिक है। पूर्ण बीटा फंक्शन पाने के लिए अंतराल को [0, 1] पर ही रहने दें।
सूत्र की व्याख्या
समाकल की गणना गॉस-लीजेंड्रे क्वाड्रेचर से की जाती है। पहले [-1, 1] पर मानक नोड्स \(x_i\) और भार (weights) \(w_i\) उत्पन्न किए जाते हैं, जो लीजेंड्रे बहुपद \(P_n\) के मूल होते हैं और न्यूटन विधि से निकाले जाते हैं। फिर इन्हें चुने गए अंतराल \([c, d]\) पर रेखीय रूप से प्रतिचित्रित किया जाता है:
$$t_i = \frac{d-c}{2}\cdot x_i + \frac{d+c}{2}$$इसके बाद समाकल का सन्निकटन \(\frac{d-c}{2}\cdot \sum w_i\, f(t_i)\) से किया जाता है। चूँकि गॉस-लीजेंड्रे विधि \(2n-1\) घात तक के बहुपदों का ठीक-ठीक समाकलन कर देती है, इसलिए चिकने समाकलित फलनों के लिए यह बहुत तेज़ी से अभिसरित (converge) होती है।
$$\begin{gathered} B_x(a,b) = \int_{\text{c}}^{\text{x}} t^{\,\text{a}-1}\,(1-t)^{\,\text{b}-1}\,dt \;\approx\; \frac{d-c}{2}\sum_{i=1}^{n} w_i\, f\!\left(t_i\right) \\[1.5em] \text{where}\quad \left\{ \begin{aligned} f(t) &= t^{\,\text{a}-1}\,(1-t)^{\,\text{b}-1} \\ t_i &= \frac{d-c}{2}\,z_i + \frac{d+c}{2} \\ c &= \text{lower},\quad d = \text{x} \\ n &= \text{divisions} \end{aligned} \right. \end{gathered}$$
हल किया गया उदाहरण
मान लीजिए \(a = 3\), \(b = 5\), अंतराल [0, 1] और \(n = 20\)। तब परिणाम पूर्ण बीटा फंक्शन होगा:
$$B(3,5) = \frac{2! \cdot 4!}{7!} = \frac{48}{5040} = 0.0095238095\ldots = \frac{1}{105}$$क्वाड्रेचर इस मान को पूरी डबल-प्रिसिज़न तक हूबहू दोहरा देता है।
अक्सर पूछे जाने वाले प्रश्न
अगर \(0 < a < 1\) या \(0 < b < 1\) हो तो? ऐसी स्थिति में समाकलित फलन किसी एक सिरे पर एक समाकलनीय विचित्रता (integrable singularity) रखता है। गॉस-लीजेंड्रे नोड्स अंतराल के भीतर होते हैं, इसलिए परिणाम परिमित ही रहता है, पर सटीकता घट जाती है — ऐसे में n बढ़ा दें।
नियमित अपूर्ण बीटा फंक्शन \(I_x(a,b)\) कैसे निकालें? इस परिणाम को पूर्ण बीटा फंक्शन से भाग दे दें (पूर्ण बीटा फंक्शन को अंतराल [0, 1] सेट करके निकालें)।
परिणाम कभी-कभी ऋणात्मक क्यों आता है? यदि ऊपरी सीमा निचली सीमा से छोटी हो, तो चिह्नित समाकल (signed integral) ऋणात्मक होता है, जो गणितीय दृष्टि से बिल्कुल सही है।
