Bu araç ne işe yarar?
Bu hesaplayıcı, \(B_x(a,b) = \int_{0}^{x} t^{\,a-1}(1-t)^{\,b-1}\,dt\) belirli integraliyle tanımlanan alt eksik beta fonksiyonu değerini hesaplar. İntegrali alınan \(t^{\,a-1}(1-t)^{\,b-1}\) ifadesi, beta ve beta-binom dağılımlarının çekirdeğini oluşturur. Üst sınır \(x = 1\) (alt sınır 0 iken) seçildiğinde sonuç, tam beta fonksiyonuna eşit olur: \(B(a,b) = \Gamma(a)\Gamma(b)/\Gamma(a+b)\).
Nasıl kullanılır?
İki şekil parametresini girin: a (a değişkeni) ve b. Her ikisi de pozitif olmalıdır. İntegrasyon aralığının alt sınırını ve üst sınır x değerini (genellikle 0 ile 1 arasında) belirleyin. Bölme sayısı n — yani Gauss-Legendre düğüm noktası adedi — değerini seçin. n arttıkça doğruluk yükselir; düzgün (pürüzsüz) integrand fonksiyonları için n = 20 fazlasıyla yeterlidir. Tam beta fonksiyonunu elde etmek için aralığı [0, 1] olarak bırakın.
Formülün açıklaması
İntegral, Gauss-Legendre kuadratürü ile hesaplanır. [-1, 1] aralığındaki standart düğüm noktaları \(x_i\) ve ağırlıklar \(w_i\), Legendre polinomu \(P_n\)'in kökleri olarak Newton yöntemiyle üretilir; ardından seçilen [c, d] aralığına doğrusal olarak eşlenir: $$t_i = \frac{d-c}{2}\cdot x_i + \frac{d+c}{2}$$ İntegral bu sayede $$\frac{d-c}{2}\sum w_i\, f(t_i)$$ ifadesiyle yaklaşık olarak hesaplanır. Gauss-Legendre yöntemi \(2n-1\) dereceye kadar olan polinomları tam olarak integre ettiğinden, düzgün integrandlarda son derece hızlı yakınsar.
Çözümlü örnek
\(a = 3\), \(b = 5\), [0, 1] aralığı ve \(n = 20\) değerleriyle sonuç, tam beta fonksiyonu $$B(3,5) = \frac{2! \cdot 4!}{7!} = \frac{48}{5040} = 0{,}0095238095\ldots = \frac{1}{105}$$ olur. Kuadratür bu değeri tam çift duyarlık (double precision) hassasiyetinde yeniden üretir.
Sıkça sorulan sorular
\(0 < a < 1\) veya \(0 < b < 1\) olursa ne olur? İntegrand, aralığın uç noktalarından birinde integrallenebilir bir tekilliğe sahip olur. Gauss-Legendre düğüm noktaları aralığın iç kısmında yer aldığından sonuç sonlu kalır; ancak doğruluk düşer — bu durumda n değerini artırın.
Düzenlenmiş (regularize) eksik beta fonksiyonu \(I_x(a,b)\) değerini nasıl bulurum? Bu sonucu tam beta fonksiyonuna bölün (aralığı [0, 1] olarak ayarlayarak tam beta değerini hesaplayabilirsiniz).
Sonuç neden bazen negatif çıkıyor? Üst sınır, alt sınırın altındaysa işaretli integral negatif olur; bu matematiksel olarak doğrudur.
