Qu'est-ce que la fonction bêta ?
La fonction bêta, aussi appelée intégrale eulérienne de première espèce, est une fonction spéciale à deux arguments notée \(B(a, b)\). On la retrouve partout en probabilités (la loi bêta), en statistique, en combinatoire et dans le calcul d'intégrales définies. Cette calculatrice renvoie la valeur numérique de \(B(a, b)\) pour deux nombres réels \(a\) et \(b\) quelconques, y compris des arguments négatifs où la fonction reste définie grâce à son prolongement par le rapport de fonctions gamma.
Comment utiliser cette calculatrice
Saisissez le premier argument \(a\) et le second argument \(b\). Ce sont deux nombres purs, sans dimension : aucune unité n'est donc nécessaire. Choisissez le nombre de chiffres significatifs à afficher (jusqu'aux quelque 15 chiffres qu'un résultat en double précision peut restituer), puis lisez la valeur de \(B(a, b)\) dans l'encadré principal. La fonction étant symétrique, intervertir \(a\) et \(b\) donne exactement le même résultat.
La formule expliquée
La définition intégrale s'écrit $$B(a, b) = \int_0^1 t^{a-1}(1-t)^{b-1}\, dt$$ pour \(\operatorname{Re}(a) > 0\) et \(\operatorname{Re}(b) > 0\). Pour le calcul, on utilise la forme close équivalente $$B(a, b) = \frac{\Gamma(a)\,\Gamma(b)}{\Gamma(a+b)}.$$ Afin d'éviter tout dépassement de capacité avec de grands arguments, la calculatrice travaille en logarithmes : $$\ln B = \ln\Gamma(a) + \ln\Gamma(b) - \ln\Gamma(a+b),$$ puis exponentie le résultat et applique le bon signe. Les valeurs de gamma proviennent d'une approximation de Lanczos (\(g = 7\)), la formule de réflexion \(\Gamma(x)\Gamma(1-x) = \frac{\pi}{\sin(\pi x)}\) prenant en charge les arguments inférieurs à \(0{,}5\).
Exemple détaillé
Pour \(a = 1{,}5\) et \(b = 0{,}2\) : \(\Gamma(1{,}5) = \frac{\sqrt{\pi}}{2} \approx 0{,}886227\), \(\Gamma(0{,}2) \approx 4{,}590844\) et \(\Gamma(1{,}7) \approx 0{,}908639\). On obtient alors $$B(1{,}5,\ 0{,}2) = \frac{0{,}886227 \times 4{,}590844}{0{,}908639} \approx 4{,}47748.$$ Une vérification simple : $$B(2, 3) = \frac{\Gamma(2)\Gamma(3)}{\Gamma(5)} = \frac{1 \cdot 2}{24} = \frac{1}{12} \approx 0{,}083333.$$
Termes et symboles clés
- Fonction Bêta \(B(a,b)\)
- La fonction Bêta d'Euler, définie par l'intégrale \(B(a,b)=\int_0^1 t^{a-1}(1-t)^{b-1}\,dt\) pour \(a,b>0\), et de manière équivalente par le rapport gamma \(B(a,b)=\Gamma(a)\Gamma(b)/\Gamma(a+b)\). Elle est symétrique : \(B(a,b)=B(b,a)\).
- Fonction Gamma \(\Gamma(x)\)
- L'extension continue de la factorielle, \(\Gamma(x)=\int_0^\infty t^{x-1}e^{-t}\,dt\) pour \(x>0\), satisfaisant \(\Gamma(n)=(n-1)!\) pour les entiers positifs et \(\Gamma(x+1)=x\,\Gamma(x)\).
- Paramètres \(a\) et \(b\)
- Les deux paramètres réels de la fonction Bêta. La définition intégrale converge pour \(a>0\) et \(b>0\) ; la forme du rapport gamma étend \(B\) à d'autres valeurs réelles sauf où les facteurs gamma ont des pôles.
- Log-gamma \(\ln\Gamma(x)\)
- Le logarithme naturel de la fonction Gamma. Calculer \(B\) comme \(\exp[\ln\Gamma(a)+\ln\Gamma(b)-\ln\Gamma(a+b)]\) évite les très grandes valeurs intermédiaires que \(\Gamma\) elle-même produit, maintenant le résultat numériquement stable.
- Approximation de Lanczos
- Une approximation de série largement utilisée pour \(\Gamma(x)\) (et \(\ln\Gamma(x)\)) qui atteint une haute précision avec un petit ensemble fixe de coefficients, couramment utilisée dans les calculatrices Bêta et gamma.
- Formule de réflexion
- L'identité \(\Gamma(x)\,\Gamma(1-x)=\dfrac{\pi}{\sin(\pi x)}\), utilisée pour évaluer la fonction Gamma pour les arguments négatifs ou petits où les séries directes ne s'appliquent pas.
- Pôle / divergence
- La fonction Gamma a des pôles en \(x=0,-1,-2,\dots\) où elle diverge. Par conséquent \(B(a,b)\) diverge quand \(a\) ou \(b\) est un entier non-positif (à moins que cela ne soit annulé par le dénominateur), donc de telles entrées n'ont pas de valeur finie.
- Relation à la distribution Bêta
- La fonction Bêta est la constante de normalisation de la distribution Bêta : sa densité de probabilité est \(f(x)=\dfrac{x^{a-1}(1-x)^{b-1}}{B(a,b)}\) sur \([0,1]\). Les mêmes paramètres \(a\) et \(b\) apparaissent dans la moyenne et variance de la distribution Bêta.
FAQ
\(B(a, b)\) est-elle toujours positive ? Pour \(a > 0\) et \(b > 0\), elle est toujours positive et finie. Pour des arguments négatifs non entiers, le signe suit le produit des signes des valeurs de gamma sous-jacentes.
Que se passe-t-il aux entiers négatifs ou nuls ? Si \(a\) ou \(b\) vaut \(0\), \(-1\), \(-2\), \(\ldots\) le résultat diverge (indéfini). Si seul \(a+b\) est un entier négatif ou nul, le pôle du dénominateur l'emporte et \(B(a, b) = 0\).
Pourquoi utiliser le rapport de gammas plutôt que l'intégrale ? C'est une forme close, plus rapide, et grâce au log-gamma elle reste précise aussi bien pour de très petits que pour de très grands arguments, là où l'intégration directe poserait problème.
