Beta 函数 B(a,b) 计算器

算法	基于对数 Gamma 的 Gamma 比值法（Lanczos g=7）
恒等式	B(a,b) = Γ(a)Γ(b) / Γ(a+b)
对称性	B(a,b) = B(b,a)

什么是 Beta 函数？

Beta 函数又称第一类欧拉积分，是一个含两个参数的特殊函数，记作 B(a, b)。它广泛出现在概率论（Beta 分布）、统计学、组合数学以及各类定积分的求值中。本计算器可返回任意两个实数 a 与 b 对应的 B(a, b) 数值，包括函数通过 Gamma 比值延拓后仍有定义的负参数情形。

贝塔函数定义为曲线从 0 到 1 的定积分，曲线下方的面积已着色 — 贝塔函数等于在区间 [0,1] 上 t^(a-1)(1-t)^(b-1) 下方的面积。

如何使用本计算器

输入第一个参数 a 和第二个参数 b。两者都是纯粹的无量纲数值，因此无需填写单位。选择要显示的有效数字位数（最多约 15 位，这是双精度浮点数能够分辨的极限），即可在结果框中读取 B(a, b) 的值。由于该函数具有对称性，交换 a 与 b 会得到完全相同的结果。

公式详解

积分定义为：当 Re(a) > 0 且 Re(b) > 0 时，B(a, b) = ∫₀¹ t^(a−1)(1−t)^(b−1) dt。在实际计算中，我们采用与之等价的闭式表达式 B(a, b) = Γ(a)Γ(b) / Γ(a+b)。为避免大参数下的数值溢出，计算器在对数空间中运算：先求 lnB = lnGamma(a) + lnGamma(b) − lnGamma(a+b)，再取指数并赋予正确的符号。其中 Gamma 值由 Lanczos 近似（g = 7）计算，对于小于 0.5 的参数则借助反射公式 Γ(x)Γ(1−x) = π/sin(πx) 来处理。

示意图显示贝塔函数为三个伽马函数方框的比值 — B(a,b) 由伽马函数构成：Gamma(a) 乘以 Gamma(b) 再除以 Gamma(a+b)。

实例演算

取 a = 1.5、b = 0.2：Γ(1.5) = √π/2 ≈ 0.886227，Γ(0.2) ≈ 4.590844，Γ(1.7) ≈ 0.908639。于是 B(1.5, 0.2) = (0.886227 × 4.590844) / 0.908639 ≈ 4.47748。再做一个简洁的验证：B(2, 3) = Γ(2)Γ(3)/Γ(5) = (1·2)/24 = 1/12 ≈ 0.083333。

关键术语和符号

Beta函数 \(B(a,b)\): 欧拉Beta函数，由积分 \(B(a,b)=\int_0^1 t^{a-1}(1-t)^{b-1}\,dt\) 定义（对于 \(a,b>0\)），也可用伽玛函数比值等价表示为 \(B(a,b)=\Gamma(a)\Gamma(b)/\Gamma(a+b)\)。它是对称的：\(B(a,b)=B(b,a)\)。
伽玛函数 \(\Gamma(x)\): 阶乘的连续扩展，\(\Gamma(x)=\int_0^\infty t^{x-1}e^{-t}\,dt\)（对于 \(x>0\)），满足对正整数有 \(\Gamma(n)=(n-1)!\) 及 \(\Gamma(x+1)=x\,\Gamma(x)\)。
参数 \(a\) 和 \(b\): Beta函数的两个实数参数。积分定义对 \(a>0\) 和 \(b>0\) 收敛；伽玛函数比值形式将 \(B\) 扩展到其他实数值，除了伽玛因子有极点的地方。
对数伽玛 \(\ln\Gamma(x)\): 伽玛函数的自然对数。计算 \(B\) 为 \(\exp[\ln\Gamma(a)+\ln\Gamma(b)-\ln\Gamma(a+b)]\) 可以避免 \(\Gamma\) 函数本身产生的非常大的中间值，保持结果的数值稳定性。
Lanczos逼近: 一种广泛使用的 \(\Gamma(x)\)（和 \(\ln\Gamma(x)\)）级数逼近，用一组较小的固定系数可以达到高精度，通常在Beta函数和伽玛函数计算器中使用。
反射公式: 恒等式 \(\Gamma(x)\,\Gamma(1-x)=\dfrac{\pi}{\sin(\pi x)}\)，用于计算伽玛函数在负值或小参数处的值，这些地方直接级数不适用。
极点 / 发散: 伽玛函数在 \(x=0,-1,-2,\dots\) 处有极点，在这些点发散。因此当 \(a\) 或 \(b\) 是非正整数时（除非被分母消去），\(B(a,b)\) 发散，所以这样的输入没有有限值。
与Beta分布的关系: Beta函数是Beta分布的归一化常数：其概率密度为 \(f(x)=\dfrac{x^{a-1}(1-x)^{b-1}}{B(a,b)}\) 在 \([0,1]\) 上。相同的 \(a\) 和 \(b\) 参数出现在 Beta分布的均值和方差中。