حاسبة دالة بيتا B(a,b)

الطريقة	نسبة دوال غاما عبر log-gamma (لانكزوس g=7)
المتطابقة	B(a,b) = Γ(a)Γ(b) / Γ(a+b)
التماثل	B(a,b) = B(b,a)

ما هي دالة بيتا؟

دالة بيتا، المعروفة أيضًا باسم تكامل أويلر من النوع الأول، هي دالة خاصة تعتمد على وسيطين وتُكتب على الصورة $B(a, b)$. تظهر هذه الدالة في كثير من مجالات الاحتمالات (توزيع بيتا) والإحصاء والتوافيق وفي حساب التكاملات المحدّدة. تعطيك هذه الحاسبة القيمة العددية للدالة $B(a, b)$ لأي عددين حقيقيين $a$ و$b$، بما في ذلك الوسائط السالبة حيث تظل الدالة معرّفة من خلال امتدادها القائم على نسبة دوال غاما.

دالة بيتا معرّفة كتكامل محدد من 0 إلى 1 لمنحنى، مع تظليل المساحة تحت المنحنى — دالة بيتا تساوي المساحة تحت $t^{a-1}(1-t)^{b-1}$ على الفترة $[0,1]$.

كيفية استخدام الحاسبة

أدخل الوسيط الأول $a$ والوسيط الثاني $b$. كلاهما عددان مجرّدان لا بُعد لهما، لذا لا حاجة إلى أي وحدات قياس. اختر عدد الأرقام المعنوية التي تريد عرضها (حتى نحو 15 رقمًا، وهي أقصى دقة يمكن للحساب بالدقة المزدوجة أن يصل إليها)، ثم اقرأ القيمة $B(a, b)$ من الصندوق الرئيسي. وبما أن الدالة متماثلة، فإن تبديل $a$ و$b$ يعطي النتيجة نفسها تمامًا.

شرح الصيغة

التعريف التكاملي للدالة هو $$B(a, b) = \int_0^1 t^{a-1}(1-t)^{b-1}\, dt$$ عندما يكون $\operatorname{Re}(a) > 0$ و$\operatorname{Re}(b) > 0$. ولأغراض الحساب نستخدم الصورة المغلقة المكافئة $$B(a, b) = \frac{\Gamma(a)\,\Gamma(b)}{\Gamma(a+b)}$$ ولتجنّب الطفح العددي مع الوسائط الكبيرة، تعمل الحاسبة باللوغاريتمات: $\ln B = \ln\Gamma(a) + \ln\Gamma(b) - \ln\Gamma(a+b)$، ثم تأخذ الدالة الأسية وتطبّق الإشارة الصحيحة. أما قيم غاما فتُحسب عبر تقريب لانكزوس ($g = 7$)، مع استخدام صيغة الانعكاس $\Gamma(x)\Gamma(1-x) = \pi/\sin(\pi x)$ للتعامل مع الوسائط الأقل من $0.5$.

اعلان

مخطط يوضح دالة بيتا كنسبة بين ثلاثة صناديق لدوال جاما — تُبنى $B(a,b)$ من دوال جاما: $\Gamma(a)$ ضرب $\Gamma(b)$ مقسومًا على $\Gamma(a+b)$.

مثال محلول

لنأخذ $a = 1.5$ و$b = 0.2$: $\Gamma(1.5) = \sqrt{\pi}/2 \approx 0.886227$، و$\Gamma(0.2) \approx 4.590844$، و$\Gamma(1.7) \approx 0.908639$. ومن ثَمّ $$B(1.5, 0.2) = \frac{0.886227 \times 4.590844}{0.908639} \approx 4.47748.$$ وإليك تحقّقًا بسيطًا: $$B(2, 3) = \frac{\Gamma(2)\Gamma(3)}{\Gamma(5)} = \frac{1\cdot 2}{24} = \frac{1}{12} \approx 0.083333.$$

اعلان

المصطلحات والرموز الرئيسية

دالة بيتا $B(a,b)$: دالة أويلر بيتا، المعرّفة بالتكامل $B(a,b)=\int_0^1 t^{a-1}(1-t)^{b-1}\,dt$ لـ $a,b>0$، وبشكل مكافئ بنسبة جاما $B(a,b)=\Gamma(a)\Gamma(b)/\Gamma(a+b)$. وهي متماثلة: $B(a,b)=B(b,a)$.
دالة جاما $\Gamma(x)$: التوسع المستمر للعاملي، $\Gamma(x)=\int_0^\infty t^{x-1}e^{-t}\,dt$ لـ $x>0$، تحقق $\Gamma(n)=(n-1)!$ للأعداد الصحيحة الموجبة و$\Gamma(x+1)=x\,\Gamma(x)$.
الوسائط $a$ و $b$: المعاملان الحقيقيان لدالة بيتا. التكامل التعريفي يتقارب لـ $a>0$ و$b>0$؛ شكل نسبة جاما يوسع $B$ إلى قيم حقيقية أخرى إلا حيث تحتوي عوامل جاما على أقطاب.
لوغاريتم جاما $\ln\Gamma(x)$: اللوغاريتم الطبيعي لدالة جاما. حساب $B$ كـ $\exp[\ln\Gamma(a)+\ln\Gamma(b)-\ln\Gamma(a+b)]$ يتجنب القيم الوسيطة الكبيرة جداً التي تنتجها $\Gamma$ بذاتها، مما يحافظ على استقرار النتيجة عددياً.
تقريب لانتسوس: تقريب متسلسلة يُستخدم على نطاق واسع لـ $\Gamma(x)$ (و$\ln\Gamma(x)$) يحقق دقة عالية مع مجموعة صغيرة وثابتة من المعاملات، يُستخدم عادة داخل حاسبات بيتا وجاما.
صيغة الانعكاس: الهوية $\Gamma(x)\,\Gamma(1-x)=\dfrac{\pi}{\sin(\pi x)}$، المستخدمة لحساب دالة جاما للوسائط السالبة أو الصغيرة حيث لا تنطبق المتسلسلات المباشرة.
قطب / تباعد: دالة جاما لها أقطاب عند $x=0,-1,-2,\dots$ حيث تتباعد. وبالتالي $B(a,b)$ يتباعد عندما يكون $a$ أو $b$ عدداً صحيحاً غير موجب (ما لم يتم حذفه بواسطة المقسوم عليه)، لذا المدخلات من هذا النوع ليس لها قيمة منتهية.
العلاقة بتوزيع بيتا: دالة بيتا هي الثابت المعياري لتوزيع بيتا: كثافتها الاحتمالية هي $f(x)=\dfrac{x^{a-1}(1-x)^{b-1}}{B(a,b)}$ على $[0,1]$. نفس المعاملات $a$ و$b$ تظهر في متوسط وتباين توزيع بيتا.

الأسئلة الشائعة

هل تكون $B(a, b)$ موجبة دائمًا؟ عندما يكون $a > 0$ و$b > 0$ فإنها تكون دائمًا موجبة ومنتهية. أما مع الوسائط السالبة غير الصحيحة فتتبع الإشارة حاصل ضرب إشارات قيم غاما الأساسية.

ماذا يحدث عند الأعداد الصحيحة غير الموجبة؟ إذا كان $a$ أو $b$ يساوي $0$ أو $-1$ أو $-2$ ... فإن النتيجة تتباعد (غير معرّفة). أما إذا كان $a+b$ وحده عددًا صحيحًا غير موجب، فإن قطب المقام يهيمن وتصبح $B(a, b) = 0$.

لماذا نستخدم نسبة دوال غاما بدلًا من التكامل؟ لأنها صورة مغلقة أسرع، ومن خلال log-gamma تظل دقيقة مع الوسائط الصغيرة جدًا والكبيرة جدًا على حدٍّ سواء، حيث يصعب على التكامل المباشر التعامل معها.