¿Qué es la función beta?
La función beta, conocida también como integral euleriana de primera especie, es una función especial de dos argumentos que se escribe \(B(a, b)\). Aparece con frecuencia en probabilidad (la distribución beta), en estadística, en combinatoria y al resolver integrales definidas. Esta calculadora devuelve el valor numérico de \(B(a, b)\) para cualquier par de números reales \(a\) y \(b\), incluidos los argumentos negativos, donde la función sigue estando definida gracias a su extensión mediante el cociente de funciones gamma.
Cómo usar esta calculadora
Introduce el primer argumento \(a\) y el segundo argumento \(b\). Ambos son números adimensionales, así que no hace falta indicar ninguna unidad. Elige cuántas cifras significativas quieres mostrar (hasta las aproximadamente 15 cifras que puede resolver un resultado en doble precisión) y consulta el valor de \(B(a, b)\) en el recuadro destacado. Como la función es simétrica, intercambiar \(a\) y \(b\) da exactamente el mismo resultado.
La fórmula explicada
La definición integral es $$B(a, b) = \int_0^1 t^{a-1}(1-t)^{b-1}\, dt$$ para \(\operatorname{Re}(a) > 0\) y \(\operatorname{Re}(b) > 0\). Para el cálculo empleamos la forma cerrada equivalente $$B(a, b) = \frac{\Gamma(a)\,\Gamma(b)}{\Gamma(a+b)}.$$ Para evitar el desbordamiento con argumentos grandes, la calculadora trabaja en logaritmos: \(\ln B = \ln\Gamma(a) + \ln\Gamma(b) - \ln\Gamma(a+b)\), después aplica la exponencial y le asigna el signo correcto. Los valores de gamma proceden de una aproximación de Lanczos (\(g = 7\)), y la fórmula de reflexión \(\Gamma(x)\Gamma(1-x) = \pi/\sin(\pi x)\) se encarga de los argumentos menores que \(0{,}5\).
Ejemplo resuelto
Para \(a = 1.5\) y \(b = 0.2\): \(\Gamma(1.5) = \sqrt{\pi}/2 \approx 0{,}886227\), \(\Gamma(0.2) \approx 4{,}590844\) y \(\Gamma(1.7) \approx 0{,}908639\). Entonces $$B(1.5, 0.2) = \frac{0{,}886227 \times 4{,}590844}{0{,}908639} \approx 4{,}47748.$$ Una comprobación sencilla: $$B(2, 3) = \frac{\Gamma(2)\Gamma(3)}{\Gamma(5)} = \frac{1\cdot 2}{24} = \frac{1}{12} \approx 0{,}083333.$$
Términos clave y símbolos
- Función Beta \(B(a,b)\)
- La función Beta de Euler, definida por la integral \(B(a,b)=\int_0^1 t^{a-1}(1-t)^{b-1}\,dt\) para \(a,b>0\), y equivalentemente por la razón de funciones gamma \(B(a,b)=\Gamma(a)\Gamma(b)/\Gamma(a+b)\). Es simétrica: \(B(a,b)=B(b,a)\).
- Función Gamma \(\Gamma(x)\)
- La extensión continua del factorial, \(\Gamma(x)=\int_0^\infty t^{x-1}e^{-t}\,dt\) para \(x>0\), que satisface \(\Gamma(n)=(n-1)!\) para enteros positivos y \(\Gamma(x+1)=x\,\Gamma(x)\).
- Argumentos \(a\) y \(b\)
- Los dos parámetros reales de la función Beta. La definición integral converge para \(a>0\) y \(b>0\); la forma de razón gamma extiende \(B\) a otros valores reales excepto donde los factores gamma tienen polos.
- Log-gamma \(\ln\Gamma(x)\)
- El logaritmo natural de la función gamma. Calcular \(B\) como \(\exp[\ln\Gamma(a)+\ln\Gamma(b)-\ln\Gamma(a+b)]\) evita los valores intermedios muy grandes que la función \(\Gamma\) en sí misma produce, manteniendo el resultado numéricamente estable.
- Aproximación de Lanczos
- Una aproximación de series ampliamente utilizada para \(\Gamma(x)\) (y \(\ln\Gamma(x)\)) que logra alta precisión con un conjunto pequeño y fijo de coeficientes, comúnmente utilizada dentro de calculadoras de Beta y gamma.
- Fórmula de reflexión
- La identidad \(\Gamma(x)\,\Gamma(1-x)=\dfrac{\pi}{\sin(\pi x)}\), utilizada para evaluar la función gamma para argumentos negativos o pequeños donde las series directas no se aplican.
- Polo / divergencia
- La función gamma tiene polos en \(x=0,-1,-2,\dots\) donde diverge. En consecuencia, \(B(a,b)\) diverge cuando \(a\) o \(b\) es un entero no positivo (a menos que sea cancelado por el denominador), por lo que tales entradas no tienen valor finito.
- Relación con la distribución Beta
- La función Beta es la constante normalizadora de la distribución Beta: su densidad de probabilidad es \(f(x)=\dfrac{x^{a-1}(1-x)^{b-1}}{B(a,b)}\) en \([0,1]\). Los mismos parámetros \(a\) y \(b\) aparecen en la media y varianza de la distribución Beta.
Preguntas frecuentes
¿\(B(a, b)\) es siempre positiva? Para \(a > 0\) y \(b > 0\) siempre es positiva y finita. Con argumentos negativos no enteros, el signo viene dado por el producto de los signos de los valores gamma subyacentes.
¿Qué ocurre en los enteros no positivos? Si \(a\) o \(b\) vale \(0, -1, -2, \ldots\) el resultado diverge (queda indefinido). Si solo \(a+b\) es un entero no positivo, domina el polo del denominador y \(B(a, b) = 0\).
¿Por qué usar el cociente de gammas en lugar de la integral? Es una forma cerrada, más rápida, y gracias al log-gamma mantiene la precisión tanto con argumentos muy pequeños como muy grandes, donde la integración directa tendría problemas.
