حاسبة الدالة العكسية

أدخل الحساب

a (معامل x في البسط)

b (الثابت في البسط)

c (معامل x في المقام)

d (الثابت في المقام)

قيّم ⁻¹f عند x (اختياري)

تمثّل الدالة f(x) = (a·x + b) / (c·x + d). وللدالة الخطية البسيطة f(x)=a·x+b اضبط c=0 وd=1.

نتائج

الدالة العكسية ⁻¹(x)f

f⁻¹(x) = (١x − ٣) / (؜-٠x + ٢)

نحصل عليها بتبديل x وy ثم الحل لإيجاد y

قيمة ⁻¹f عند قيمة x المختارة	١
معامل x في البسط (d)	١
الثابت في البسط (−b)	؜-٣
معامل x في المقام (−c)	؜-٠
الثابت في المقام (a)	٢
المحدِّد ad − bc (يجب أن يكون ≠ 0)	٢

ما هي حاسبة الدالة العكسية؟

الدالة العكسية \(f^{-1}(x)\) تُلغي ما تفعله الدالة الأصلية \(f(x)\): فإذا كان \(f(p) = q\)، فإن \(f^{-1}(q) = p\). تتيح لك هذه الحاسبة إيجاد عكس أي دالة خطية على الصورة \(f(x) = ax + b\)، أو بشكل أعم أي دالة كسرية (دالة موبيوس) على الصورة \(f(x) = (ax + b)/(cx + d)\). تعرض لك صيغة مبسّطة للدالة العكسية \(f^{-1}(x)\)، كما يمكنها حساب قيمتها العددية عند أي قيمة \(x\) تختارها.

طريقة الاستخدام

أدخل المعاملات الأربعة \(a\) و\(b\) و\(c\) و\(d\) التي تصف دالتك \(f(x) = (a\cdot x + b) / (c\cdot x + d)\). إذا كانت دالتك خطية بسيطة مثل \(f(x) = 2x + 3\)، فاضبط القيم على \(a = 2\) و\(b = 3\) و\(c = 0\) و\(d = 1\). ويمكنك اختياريًا إدخال قيمة في خانة «قيّم عند \(x\)» للحصول على الناتج العددي للدالة العكسية عند تلك النقطة. تعرض لوحة النتائج الصيغة الرمزية للدالة العكسية إضافةً إلى كل معامل من معاملاتها.

شرح الصيغة الرياضية

لإيجاد عكس الدالة \(f\)، نكتب \(y = (ax + b)/(cx + d)\)، ثم نبدّل دور \(x\) و\(y\) لنحصل على \(x = (ay + b)/(cy + d)\)، وبعدها نحل المعادلة لإيجاد \(y\). وبالضرب التبادلي نحصل على \(x(cy + d) = ay + b\)، ومنها \(y(cx - a) = b - dx\)، وبإعادة الترتيب نصل إلى $$y = \frac{\text{d}\,x - \text{b}}{-\text{c}\,x + \text{a}}$$ ولاحظ أن الدالة العكسية لا توجد إلا عندما يكون المحدِّد \(ad - bc \neq 0\)؛ فإذا ساوى صفرًا تكون الدالة ثابتة أو غير متباينة (ليست واحد-لواحد) ولا يمكن إيجاد عكسها.

اعلان

الدالة ومعكوسها صورتان متماثلتان بالنسبة إلى الخط \(y = x\).

مثال محلول

لنأخذ \(f(x) = (2x + 3)/(x + 4)\)، أي أن \(a = 2\) و\(b = 3\) و\(c = 1\) و\(d = 4\). عندئذٍ تكون الدالة العكسية $$f^{-1}(x) = \frac{4x - 3}{-x + 2}$$ وللتحقق عند \(x = 1\): $$f^{-1}(1) = \frac{4 - 3}{-1 + 2} = \frac{1}{1} = 1$$ وبالفعل نجد \(f(1) = (2 + 3)/(1 + 4) = 5/5 = 1\). ✓

أوجد الدالة العكسية بتبديل \(x\) و \(y\) ثم حل المعادلة لإيجاد \(y\).

الأسئلة الشائعة

هل يمكنها إيجاد عكس الدوال التربيعية أو المثلثية؟ لا — تقتصر هذه الأداة على الدوال الخطية والكسرية على الصورة \((ax + b)/(cx + d)\)، وهي العائلة التي يمكن حلّها بإعادة ترتيب جبري واحد.

ماذا يخبرني المحدِّد؟ يجب أن تكون قيمة \(ad - bc\) مختلفة عن الصفر حتى توجد دالة عكسية. فإذا ساوت صفرًا، تكون الدالة \(f\) غير متباينة ولا عكس لها.

ماذا لو كان مقام الدالة العكسية يساوي صفرًا عند قيمة \(x\) لديّ؟ عندئذٍ تكون الدالة العكسية \(f^{-1}\) غير معرّفة عند تلك النقطة (خط تقارب رأسي)؛ فاختر قيمة \(x\) أخرى.