अपूर्ण बीटा फ़ंक्शन कैलकुलेटर क्या है?
यह टूल वास्तविक आकार प्राचलों (shape parameters) \(a > 0\), \(b > 0\) और ऊपरी सीमा \(0 \le x \le 1\) के लिए अपूर्ण बीटा फ़ंक्शन \(B_{x}(a,b)\) तथा इसके सामान्यीकृत रूप, नियमित अपूर्ण बीटा फ़ंक्शन \(I_{x}(a,b)\) की गणना करता है। यह शुद्ध गणित है और किसी भी क्षेत्रीय नियम के बिना हर जगह लागू होता है। चूँकि \(I_{x}(a,b)\) बीटा वितरण के संचयी वितरण फ़ंक्शन (CDF) के बराबर होता है, यह Student-t, F और द्विपद (binomial) वितरणों के सिरों (tails) का आधार बनता है।
इसका उपयोग कैसे करें
दोनों आकार प्राचल \(a\) और \(b\) (दोनों पूरी तरह धनात्मक) तथा 0 और 1 के बीच की ऊपरी सीमा \(x\) दर्ज करें। कैलकुलेटर मुख्य मान के रूप में \(I_{x}(a,b)\) देता है, साथ ही असामान्यीकृत \(B_{x}(a,b)\) और पूर्ण बीटा \(B(a,b)\) भी। डबल प्रिसिज़न लगभग 15 भरोसेमंद सार्थक अंक (significant digits) देता है।
सूत्र की व्याख्या
अपूर्ण बीटा फ़ंक्शन एक आंशिक समाकलन है:
$$B_{x}(a,b) = \int_{0}^{x} t^{\,a-1}(1-t)^{\,b-1}\,dt$$पूर्ण बीटा है
$$B(a,b) = \frac{\Gamma(a)\,\Gamma(b)}{\Gamma(a+b)}$$इन्हें विभाजित करने पर नियमित रूप मिलता है
$$I_{x}(a,b) = \frac{B_{x}(a,b)}{B(a,b)}$$जो हमेशा \([0,1]\) में रहता है। हम \(I_{x}\) का मान एक संख्यात्मक रूप से स्थिर सतत भिन्न (continued fraction) और log-गामा फ़ंक्शन के Lanczos सन्निकटन से निकालते हैं, फिर \(B_{x} = I_{x} \times B(a,b)\) से \(B_{x}\) प्राप्त करते हैं।
हल किया हुआ उदाहरण
मान लीजिए \(a = 1\), \(b = 3\), \(x = 0.4\)। \(a = 1\) होने पर समाकल्य \((1-t)^{2}\) बनता है, इसलिए
$$B_{x} = \frac{1 - 0.6^{3}}{3} = \frac{0.784}{3} = 0.26133$$पूर्ण बीटा है \(B(1,3) = 1\cdot 2/6 = 1/3\)। अतः
$$I_{x} = \frac{0.26133}{0.33333} = 0.784$$जो इस सर्वसमिका से मेल खाता है: \(I_{0.4}(1,3) = 1 - (1-0.4)^{3} = 0.784\)।
अक्सर पूछे जाने वाले प्रश्न
\(B_{x}\) और \(I_{x}\) में क्या अंतर है? \(B_{x}\) कच्चा आंशिक समाकलन है; जबकि \(I_{x} = B_{x}/B(a,b)\) \([0,1]\) में सामान्यीकृत किया हुआ मान है।
\(a\) और \(b\) धनात्मक क्यों होने चाहिए? गामा फ़ंक्शन के अधनात्मक पूर्णांकों पर ध्रुव (poles) होते हैं और अन्यथा समाकलन अपसरित (diverge) हो जाता है, इसलिए \(a > 0\) और \(b > 0\) आवश्यक हैं।
सिरों (endpoints) पर क्या होता है? \(x = 0\) पर \(B_{x}\) और \(I_{x}\) दोनों 0 होते हैं; \(x = 1\) पर \(I_{x} = 1\) और \(B_{x} = B(a,b)\) होता है।
