¿Qué es la función gamma incompleta?
La función gamma incompleta generaliza la función gamma ordinaria (completa) al detener la integral en un punto finito en lugar de integrar hasta el infinito. La función gamma incompleta inferior \(\gamma(a,x)\) integra \(t^{a-1} e^{-t}\) desde 0 hasta x, mientras que la función gamma incompleta superior \(\Gamma(a,x)\) integra desde x hasta el infinito. Ambas dependen de un parámetro de forma \(a\) y de un argumento \(x\), y ambas son números reales puros y adimensionales. Aparecen constantemente en estadística (las funciones de distribución acumulada de las distribuciones chi-cuadrado y gamma), en física, en ingeniería de fiabilidad y en la teoría de colas.
Cómo usar esta calculadora
Introduce el parámetro de forma a (debe ser positivo, \(a > 0\)) y el argumento x (debe ser no negativo, \(x \ge 0\)). La calculadora devuelve \(\gamma(a,x)\), \(\Gamma(a,x)\) y la función gamma completa \(\Gamma(a)\) para que puedas comprobar la identidad $$\gamma(a,x) + \Gamma(a,x) = \Gamma(a)$$ En \(x = 0\) la función inferior vale 0 y la superior equivale a \(\Gamma(a)\); a medida que x crece, la función inferior se aproxima a \(\Gamma(a)\) y la superior tiende a 0.
La fórmula y el algoritmo
Las integrales que las definen son $$\gamma(a,x) = \int_{0}^{x} t^{\,a-1}\, e^{-t}\, dt$$ y $$\Gamma(a,x) = \int_{x}^{\infty} t^{\,a-1}\, e^{-t}\, dt = \Gamma(a) - \gamma(a,x)$$ con el mismo integrando. Para evaluarlas de forma estable, esta herramienta utiliza las formas regularizadas \(P(a,x) = \gamma(a,x)/\Gamma(a)\) y \(Q(a,x) = \Gamma(a,x)/\Gamma(a)\). Cuando \(x < a+1\), una serie de potencias de convergencia rápida proporciona \(P\); en caso contrario, una fracción continua de Lentz proporciona \(Q\). La gamma completa \(\Gamma(a)\) se obtiene mediante una aproximación de Lanczos de \(\ln \Gamma(a)\). Es la clásica división gammp/gammq de Numerical Recipes, con una precisión de aproximadamente 15 cifras significativas en doble precisión.
Ejemplo resuelto
Tomemos \(a = 1\) y \(x = 2\). Como \(t^{a-1} = t^0 = 1\), la función inferior es la integral de \(e^{-t}\) de 0 a 2 $$= 1 - e^{-2} = 1 - 0{,}13533528 = 0{,}86466472$$ La función superior es \(e^{-2} = 0{,}13533528\), y \(\Gamma(1) = 1\). La comprobación de la identidad $$0{,}86466472 + 0{,}13533528 = 1{,}0$$ confirma el resultado.
Preguntas frecuentes
¿Por qué a debe ser positivo? Las definiciones convergentes y la evaluación de ln-gamma de Lanczos exigen \(a > 0\); en los enteros no positivos, \(\Gamma(a)\) tiene polos.
¿Qué ocurre si x es 0? \(\gamma(a,0) = 0\) y \(\Gamma(a,0) = \Gamma(a)\), de modo que la función superior coincide con la función gamma completa.
¿Qué precisión tiene el resultado? La aritmética de doble precisión y la división serie/fracción continua ofrecen unas 15 cifras significativas en todo el dominio válido.
