Hàm gamma không đầy đủ là gì?
Hàm gamma không đầy đủ là dạng tổng quát hóa của hàm gamma (đầy đủ) thông thường, khác ở chỗ tích phân dừng lại tại một điểm hữu hạn thay vì lấy đến vô cùng. Hàm gamma không đầy đủ cận dưới \(\gamma(a,x)\) lấy tích phân \(t^{a-1} e^{-t}\) từ 0 đến \(x\), trong khi hàm gamma không đầy đủ cận trên \(\Gamma(a,x)\) lấy tích phân từ \(x\) đến vô cùng. Cả hai đều phụ thuộc vào tham số hình dạng \(a\) và đối số \(x\), và đều là những số thực không thứ nguyên thuần túy. Chúng xuất hiện thường xuyên trong thống kê (hàm phân phối tích lũy của phân phối chi bình phương và phân phối gamma), vật lý, kỹ thuật độ tin cậy và lý thuyết xếp hàng.
Cách sử dụng máy tính này
Nhập tham số hình dạng a (phải dương, \(a > 0\)) và đối số x (phải không âm, \(x \ge 0\)). Máy tính sẽ trả về \(\gamma(a,x)\), \(\Gamma(a,x)\) và hàm gamma đầy đủ \(\Gamma(a)\) để bạn có thể kiểm chứng đẳng thức \(\gamma(a,x) + \Gamma(a,x) = \Gamma(a)\). Tại \(x = 0\), hàm cận dưới bằng 0 còn hàm cận trên bằng \(\Gamma(a)\); khi \(x\) lớn dần, hàm cận dưới tiến tới \(\Gamma(a)\) còn hàm cận trên tiến về 0.
Công thức và thuật toán
Các tích phân định nghĩa là
$$\gamma\!\left(a,\, x\right) = \int_{0}^{x} t^{\,a-1}\, e^{-t}\, dt$$và
$$\Gamma\!\left(a,\, x\right) = \int_{x}^{\infty} t^{\,a-1}\, e^{-t}\, dt = \Gamma\!\left(a\right) - \gamma\!\left(a,\, x\right)$$của cùng biểu thức dưới dấu tích phân. Để tính chúng một cách ổn định, công cụ này dùng các dạng chính quy hóa \(P(a,x) = \gamma(a,x)/\Gamma(a)\) và \(Q(a,x) = \Gamma(a,x)/\Gamma(a)\). Khi \(x < a+1\), một chuỗi lũy thừa hội tụ nhanh cho ra \(P\); ngược lại, một liên phân số Lentz cho ra \(Q\). Hàm gamma đầy đủ \(\Gamma(a)\) được tính từ xấp xỉ Lanczos của \(\ln \Gamma(a)\). Đây chính là cách tách gammp/gammq kinh điển trong Numerical Recipes, đạt độ chính xác khoảng 15 chữ số có nghĩa với số thực dấu phẩy động độ chính xác kép.
Ví dụ minh họa
Lấy \(a = 1\) và \(x = 2\). Vì \(t^{a-1} = t^0 = 1\), hàm cận dưới chính là tích phân của \(e^{-t}\) từ 0 đến 2 \(= 1 - e^{-2} = 1 - 0.13533528 = 0.86466472\). Hàm cận trên là \(e^{-2} = 0.13533528\), và \(\Gamma(1) = 1\). Phép kiểm tra đẳng thức \(0.86466472 + 0.13533528 = 1.0\) xác nhận kết quả là đúng.
Câu hỏi thường gặp
Tại sao a phải dương? Các định nghĩa hội tụ và cách tính ln-gamma theo Lanczos đều yêu cầu \(a > 0\); tại các số nguyên không dương, \(\Gamma(a)\) có cực điểm.
Nếu x bằng 0 thì sao? \(\gamma(a,0) = 0\) và \(\Gamma(a,0) = \Gamma(a)\), nên hàm cận trên đúng bằng hàm gamma đầy đủ.
Kết quả chính xác đến mức nào? Số học độ chính xác kép cùng cách tách chuỗi/liên phân số cho độ chính xác khoảng 15 chữ số có nghĩa trên toàn miền giá trị hợp lệ.
